Устойчивость монодромных особых точек векторных полей на плоскости

• Автор: Медведева, Наталия Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 252 с. : ил.

1 Процесс раздутия по диаграмме Ньютона

1.1 Раздутие по диаграмме Ньютона

1.2 Особые точки, полученные после раздутия

1.3 Продолжение процесса раздутия

1.4 Критерий монодромности

1.5 Пример: семейство монодромных ростков

1.6 Раздутие в секторах, соответствующих ребрам и вершинам

1.7 Необходимое и достаточное условие монодромности

1.8 Доказательство теоремы

1.9 Главный член асимптотики преобразования монодромии

1.10 Пример: вычисление обобщенной первой фокусной величины

1.11 Схема раздутия
1.12 Суперпозиция отображений соответствия
1.13 Отображение соответствия в вершинном прямоугольнике
1.14 Отображения соответствия в реберных прямоугольниках
1.15 Отображения соответствия для максимальной линии схемы раздутия
1.16 Некоторые композиции отображений соответствия
1.17 Доказательство леммы 1
1.18 Доказательство теоремы
1.19 Доказательство предложения 1
1.20 Доказательство предложения 1
2 Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса
2.1 Простейшие монодромные классы
2.2 Особые точки, полученные в результате раздутия
2.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем ребру
2.4 Случай одного ребра
2.5 Определение расширенных отображений соответствия
2.6 Случай двух ребер и невырожденной вершины

2.7 Случай двух невырожденных ребер и вырожденной вершины
2.8 Случай нескольких невырожденных ребер
2.9 Случай невырожденных вершин
2.10 Асимптотическое разложение преобразования монодромии
2.11 Обобщенная диаграмма Ньютона
2.12 Множества, соответствующие ребрам
2.13 Преобразование коэффициентов струи при сдвиге
2.14 Окончание доказательства леммы 2
2.15 Случай произвольного простейшего монодромного класса
3 Отображения соответствия
3.1 Нормальная форма в окрестности невырожденного седла
3.2 Нормальная форма в резонансном случае
3.3 Отображение соответствия в окрестности невырожденного седла
3.4 Отображение соответствия в резонансном случае
3.5 Нормальная форма в окрестности вырожденной особой точки
3.6 Отображение соответствия в окрестности вырожденной особой точки
3.7 Расширенные отображения соответствия в случае невырожденной вершины
3.8 Расширенные отображения соответствия в резонансном случае
3.9 Расширенные отображения соответствия в случае вырожденной вершины
3.10 Случай вырожденных ребер
3.11 Расширенные отображения соответствия в случае верхней вершины
Добавление
4 Часть I. Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по геометрии раздутия
4.1 Венок Мебиуса
4.2 „Хорошее раздутие“
4.3 Изображающая точка
4.4 Существенные оси
4.5 Функция Рг
4.6 Дерево раздутия
4.7 Ключевые вершины
4.8 Индекс ребра дерева раздутия
4.9 Характеристика суперпозиции отображений соответствия
4.10 Обобщенная первая фокусная величина
4.11 Примеры
4.12 Лемма об отображениях соответствия
4.13 Ветви дерева раздутия
4.14 Доказательство теоремы
4.15 Отображение соответствия для правильной ветви
5 Часть II. Второй член асимптотики преобразования мо-нодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона
5.1 Асимптотика преобразования монодромии
5.2 Раздутие особенности
5.3 Замена переменных в секторе, соответствующем ребру диаграммы Ньютона
5.4 Отраженные векторные поля
5.5 Отображение соответствия в прямоугольнике Ра„
5.6 Параметризация трансверсалей
5.7 Отображения соответствия в прямоугольниках, соответствующих ребрам
5.8 Коэффициенты суперпозиции отображений соответствия
Библиография

Теорема 2 . При подходящем выборе полутрансверсали и, быть может, после обращения времени, преобразование монодромии монодром-ной особой точки аналитического векторного поля имеет при х —> О асимптотику х -* сх( 1 + о(1)), где
. „ „ +r° Xt(l, w) Г 0, если £ четное,
1п с = 2 > шее v.p. / —аг»; ее s= < . .
e^Qrnax Jœ newFl{l,w) { 1, если £ нечетное,
коэффициенты рц определены формулой (1.20), ne - знаменатель несократимой дроби, равной показателю ребра I.
Замечание. Подынтегральные функции в формуле для 1п с могут иметь полюса в нуле, а также в конечном числе точек числовой оси. Доказано, что в случае максимального ребра соответствующее ему главное значение интеграла сходится во всех полюсах и в бесконечности.
Теорема 2 для случая слабо-Г- невырожденных векторных полей доказана в [52].
1.10 Пример: вычисление обобщенной первой фокусной величины.
Рассмотрим векторное поле Vq из примера §1.5. В §1.5 показано, что особая точка (х, у) = (0,0) векторного поля (1.5) является монодромной при условиях (1.6) - (1.9), а также построено Ньютоново дерево раздутия, содержащее две вершины Vo и V. Соответствующие диаграммы Ныотона изображены на рисунке 4. В нашем примере
Xh (1, w) = gw, Fh (ж, у) = /у2 + (h - 3g)x3y + bx6,
Xl2(l,w) = aw2 — dw, Fl2(x, y) = —ay2 + 2dxy + /ж2,
Xe' (1, w) = Aw2, F£'(x, y) = Bx2 + (C — A)y2 = dy2 + (h — g)x2).
Заметим, что ребра (! являются максимальными и нечетными.
Так как Ь{£') — (£2, £') , то цц — 7с>. Поскольку L(l) = (£j), то щ, = Ас = 1.
Далее вычислим главные значения интегралов.
J Xll(l,w) j °r g j 2тгg
V-P- / zdw = v.p. / ——Г y-, —т dw = .—_ -,
J wFtl(l,w) J fw2 + (h - 3g)w + b V-A