Качественные свойства решений псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях

• Автор: Кожевникова, Лариса Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 251 с.

Оглавление
Введение
1. А - последовательности и их свойства
1.1. Неравенства
1.2. А - последовательности
1.3. П - последовательности
2. Задача Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений
2.1. Существование и единственность решения с суммируемыми данными
2.2. Существование и единственность решения с локально суммируемыми данными
2.2.1. Теоремы единственности
2.2.2. Примеры неединственности решений для уравнения Лапласа
2.2.3. Теорема существования
2.3. Поведение решения на бесконечности
2.3.1. Оценки сверху
2.3.2. Оценки снизу
3. Первая смешанная задача для псевдодифференциальных параболических уравнений

3.1. Существование и единственность решения с начальной функцией из Ьг (Г2)
3.2. Класс единственности теклиндовского типа
3.2.1. Класс единственности теклиндовского типа
3.2.2. Точность теклиндовского класса единственности
3.2.3. Теорема существования в классе единственное г и теклиндовского типа
3.3. Геометрический класс единственности
3.3.1. Геометрический класс единственности
3.3.2. Примеры неединственности решений для уравнения теплопроводности
3.3.3. Теорема существования в геометрическом классе единственности
3.4. Стабилизация решения
3.4.1. Оценки сверху
3.4.2. Оценки снизу
Литература

Введение
Работа посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях. В диссертации рассматривается довольно широкий круг вопросов, взаимосвязанных как по постановке проблемы, так и по методам исследования. Не вдаваясь в детали, их можно разбить на следующие четыре группы: классы единственности и вопросы убывания при удалении аргумента на бесконечность решений эллиптических уравнений, классы единственности и вопросы стабилизации при t —> оо решений параболических уравнений в неограниченных областях. По каждой группе вопросов в диссертации получены новые результаты как для эллиптических и параболических уравнений второго порядка, так и для псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений.
Обзор результатов по названным группам исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.
Известно большое число работ, в которых доказываются теоремы типа Фрагмена- Линдслефа, устанавливается принцип Сен - Венана или выделяются классы единственности решений для эллиптических уравнений.

f-b(xJ) = xja-> J — 0, oo, x > 0, a > 1, 0 < b < a.
Здесь — П - последовательность функции /_а(.т) = min(l,ai-a),
x > 0. по следствию 1.3.3 она является Л - последовательностью для областей П(/_*), Q(/_a). Классы единственности вида (0.0.53), (0.0.52) для областей Q(f-b) и Q(f_h) совпадают. Однако для области Q(f_b) ниже установлен существенно более широкий (и точный) класс единственности, такой же, как и для области П(/_й).
Взяв П - последовательность функции /_а(ж) в качестве Л - последовательности, по теореме 7' получим класс единственности (0.0.51'), пригодный как для области Г2(/_а), так и для области Очевидно,
для функции f~a{x) выполнено условие (0.0.21). Поэтому соотношение (0.0.22) для П - последовательности функции /_0(ж) принимает вид
c~lxl^a < N < сх]+а, N > 1. (0.0.22_а)
Взяв £дг = 1) N = 0, оо, можно переписать класс единственности (0.0.51')
для области Q(f_b) в виде
lim exp (—K_ar1+a) |M|DT,r+if7 4 = 0, 0 < 6 < a. (0.0.51_a)
г—ї ОО r j—b)
В n. 3.3.2 для решения задачи (0.0.2), (0.0.3), (0.0.47) в цилиндрической области DT(f) построен следующий пример неединственности.
Теорема 9. Пусть для функции f(x), х > 0, существует положительная функция fix) < /(ж), х > 0, такая, что

J f(x)dx = Со < оо, (0.0.54)

и П-последовательностъ {жлг}^=0 функции f(x) удовлетворяет условию (0.0.23). Тогда для любого Т > 0 в области DT(f) существует неотрицательное ненулевое решение u(t, у) зада,чи (0.0.2), (0.0.3), (0.0.47),