Асимптотические решения бисингулярных задач для уравнений параболического типа

• Автор: Капустина, Татьяна Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление
0. Введение
1. Задача в полуполосе для параболического уравнения с
особой характеристикой.
1.1. Постановка задачи
1.2. Формальное асимптотическое представление.
I. Регулярная часть
и. Выполнение граничного условия
ш. Устранение невязки в начальном условии
IV. Функции внутреннего переходного слоя, обеспечивающие гладкость решения на особой характеристике
V. Функции пограничного слоя в окрестности точки пересечения особой характеристики с границей
1.3. Обоснование асимптотики
2. Задача Коши для сингулярно возмущенного параболического уравнения с разрывными коэффициентами.
2.1. Постановка задачи в случае отрицательности коэффициента при первой пространственной производной справа от линии разрыва, и обращения в ноль слева
2.2. Формальное асимптотическое представление.
п Регулярные функции
II. Построение пограничных функций в окрестности линии разрыва коэффициентов и исследование их свойств
ш. Угловые функции, обеспечивающие выполнение
начального условия, и их свойства
2.3. Обоснование асимптотики
2.4. Случай, когда коэффициент при первой производной имеет разные знаки справа и слева от линии разрыва
2.5. Случай непрерывности коэффициента при первой производной

3. Задача Коши для параболического уравнения с малыми параметрами при пространственных производных.
3.1. Постановка задачи
3.2. Случай, когда параметр при старшей производной имеет более высокий порядок малости, чем квадрат параметра при первой производной (0 < а < 1)
3.3. Случай равенства параметра при старшей производной
и квадрата параметра при первой производной (а = 1)
3.4. Случай, когда квадрат параметра при первой производной имеет более высокий порядок малости, чем параметр при старшей производной (а > 1)
4. Заключение.
Иллюстрации
Основные результаты
5. Литература

Введение
Широко известно, что математическими моделями многих физических процессов являются дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры. Входящие в уравнение параметры служат количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса; если некоторый фактор незначительно влияет на процесс, то соответствующий параметр будет малым.
В таких случаях естественно принять малый параметр равным нулю и получить более простую задачу, которая называется вырожденной. При этом можно надеяться, что решение исходной (невырожденной) задачи при достаточно близких к нулю значениях параметра будет мало отличаться от решения вырожденной задачи. Подобная ситуация нередко имеет место, например, в обыкновенных дифференциальных уравнениях при выполнении условий теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра. Задачи, решение которых при малых значениях параметра будет близко (в соответствующей норме) к решению вырожденной задачи во всей области изменения независимых переменных, называются регулярно возмущенными.
Однако во многих случаях близость малого параметра к нулю не означает равномерную близость решений вырожденной и невырожденной задач; тогда исходная задача называется сингулярно возмущенной. К классу сингулярно возмущенных задач относятся, например, дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. При переходе к вырожденной задаче порядок такого уравнения понижается; поэтому решение вырожденного уравнения, вообще говоря, не может удовлетворять всем дополнительным условиям, заданным для исходного уравнения, и от некоторых из дополнительных условий приходится отказаться. Поэтому в окрестности той части границы рассматриваемой области, где дополнительные условия оказались отброшенными, решение вырожденной задачи заведомо не будет приближать решение исходной задачи. Таким образом, в отличие от регулярных возмущений, сингулярные возмущения вызывают существенные изменения решения в некоторой части рассматриваемой области.

[Wi(t,7i) = (L p)

77=+0
--X0(t)

W(t,77)

г/- (I
Wi(0, if) = 0, i > 0.
?±/+ _ П D±
177=—0 Ui(t,x)

ж=®оМ
ж=ж0(£)

Здесь В о (£,?/) = 0, а функции (£, 77) рекуррентно вычисляются через Яд), гп<1.
Лемма 1.3. Для функций внутреннего переходного слоя при любых Ь С (0,Т] и при всех р справедливы оценки

|(*, 77) < С(е 4<1 + |?]|г), г > 0. Доказательство. Обозначим

X = Xo(t)
Pi(t)

x=x0(t)
р0 (t) = 0;
ф(ф)

- j C(e,XQ(e))de
Заменой Wi — Wi(t) уравнение (1.13) сводится к уравнению теплопроводности.
Начнем с функции wq(t,p). Она удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности
д2„~± rhT

op1 at
с дополнительными условиями
*(t)’ №0(0,77) = 0.
(1.15)