Задачи типа Гурса с нормальными производными в краевых условиях

• Автор: Миронов, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 148 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Характеристические задачи с нормальными производными первого порядка
§ 1. Трехмерные задачи
1.1. Уравнения для определения 9)4 через фк
1.2. Варианты граничных условий и характер разрешимости задач
§ 2. Условия и характер разрешимости четырехмерных задач
2.1. Отыскание
2.2. Разрешимость краевых задач
§ 3. Распространение результатов на случай любого конечного числа измерений
Глава 2. Интегральные уравнения для функции Римана. Построение этих функций в явном виде
§ 4. О четырехмерных функциях Римана
4.1. Вывод интегральных уравнений
4.2. Случаи решения полученных уравнений в явном виде
4.3. Варианты расщепления оператора Ь на одномерные и трехмерные составляющие
4.4. Расщепление Ь на два двумерных оператора
§ 5. Общий случай (п > 4)
5.1. Вариант интегрального уравнения
5.2. Запись функции Римана в явном виде
5.3. Некоторые пояснения общего характера
Глава 3. К задачам с производными высокого порядка в граничных условиях
§ 6. Связь граничных значений искомых функций с их нормальными производными третьего порядка
§ 7. Об определении граничных значений задачи Гурса через нормальные производные произвольного порядка
§ 8. Общая характеристическая задача с производными в граничных условиях
8.1. Задача с нормальными производными третьего порядка
8.2. Задача в общей постановке
Литература
Введение
Предметом исследования в предлагаемой диссертации является уравнение
jj- + Ь(и) = О, (0.1)
ОХОХ2
с линейным дифференциальным оператором L общего вида порядка п — 1, содержащим лишь некратное дифференцирование по каждой из переменных. При п = 2 это есть хорошо известное в математической физике гиперболическое уравнение
иху + аих + Ьиу + си = 0. (0.2)
Одним из наиболее интересных результатов, относящихся к уравнению (0.2), является метод, предложенный Б. Риманом для построения решения задачи Коши [25] („метод Римана”). Решение задачи при этом записывается с помощью функции, определяемой как решение сопряженного к (0.2) уравнения, удовлетворяющее некоторым граничным условиям. Эта функция тоже носит имя Римана. Впоследствии указанный метод был несколько видоизменен, что сделало его удобным для решения также и задачи Гурса (И.Н. Векуа [6], A.B. Бицадзе [3], [4]). При этом было выведено интегральное уравнение, которому удовлетворяет функция Римана. В.И. Жегалов обратил внимание на то, что функция Римана с самого начала может быть определена как решение этого интегрального уравнения. Такой способ введения функции Римана оказался удобным для распространения обсуждаемого метода на многомерные случаи. В работе [14] (1990 г.) было получено решение задачи Гурса для уравнения (0.1) в случае п = 3. Позднее, в совместных работах В.И. Жегалова и

fil (y, z, t) = d(0,0, z, t) A12(z, t) + +d(0, y, z, 0)Л14(у, z) + d(0,0,0, t)A12(0, t)--d(0,0, z, 0)Ai2(z, 0) - d(0, y, 0,0)Аіз(у, 0) + d(0,0,0,0)u>+
+ ß,z,0) - dß(0,ß,z,0))u(ß,z) + (s(0,/3,0,t)-
-dß(0,ß,0,t))13{ß,t) - (s(0,/3,0,0) - <%(0,/3,0,0))Ai3(/3,0)]d/3+
+ Z[O(0,y,7,0) - d7(0,y,7,0))A14(y,7) + (ft(0,0,7,t)--d7(0,0,7, і))Аі2(7, t) - (fc(0,0,7,0) - d7(0,0,7,0))Ai2(7, 0)]d7+
+ f*[(h(0,y,0,ö) - ds{0,y,0,S))l3{y,S) + {h(0,0,z,ö)~
-ds(0,0, z, <5)) Ai2(z, S) - (h(0,0,0, S) — ds{0,0,0, S))Ai2(0, <5)]d + fo Jo ll&ß’ T, 0) - kß(0,/3,7,0) - s7(0,/3,7,0)+
+d/37(°. ß> 7, 0)]A14(/3, j)d/ydß + ß А 0.s) ~ V°> /3,0, ö)
-s3(0, ß, 0,5) + dßS(0, ß, 0,5)]Ai3(/3,5)d5dß + J‘ j‘[n{0,0,7, 5)--67(0,0,7, <5) — fcä(0,0,7,(3) + <37з(0,0,7,5)] Ai2(75)d5d7-
~Фі(у, z, t) + і(0, z, t) + 4>i(y, 0, t) + фі(у, z, 0) - i/>i(0,0, /)--фі(0, z, 0) - фі(у, 0,0) + V>i(0,0,0) - jT[c(0, ß, z,І)фi(/3, z,t)--c(0, ß, 0, t)ßi(ß, 0,4) — c(0, /3, *, 0)Уч(/3, z, 0) +c(0, /3,0,0)(j8,0,0)]d/3-- ,06(0, 7, <)і (у, 1, t) - 5(0,0,7, і)ф 1 (0,7, і) - 6(0, у, 7,0)/6i (у, 7,0)+ +6(0,0,7,0)?/>i(0,7,0)]d7 - І*[а(0,у,г,6)фі{у,г,6)--a(0,0, z, 5)/6і(0, z, S) - a(0, y, 0,5)фі (y, 0,5) + a(0,0,0,6)фг (0,0,6)]d5-
- !" Jg[{9(0,ß,7ß)-bß(0,ß,J,t) - c-,(0,;3,7, t)tyi(ß,~',t)~
— (9(0, /3,7,0) - 6,9(0, /3,7,0) - 0,(0, /3,7,0))і(/3, -у, 0)]<І7<і/3—
~ Sa Sa z’“ а/30,z’~ с0’101 z’‘W1’ z>