Некоторые обратные задачи с данными Коши

• Автор: Шипина, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 90 с.

Содержание
Введение
ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
§1. Постановка задачи
§2. Теоремы существования и единственности
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА
ДЛЯ СИСТЕМЫ СОСТАВНОГО ТИПА
§1. Постановка задачи
§2. Теоремы существования и единственности
§3. Исследование поведения решения обратной задачи
при —>
п.1. Ограниченность и стремление к нулю решения задачи
при оо
п.2. Стационарная задача
п.З. Сходимость решения при 1 Ч оо к решению
стационарной задачи
§4. Одномерная обратная задача для параболического
уравнения
п. 1. Постановка задачи. Теорема существования и
единственности
п.2. Вопросы стабилизации решения обратной задачи
ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ И НЕКОТОРЫЕ
СВОЙСТВ А РЕТТТЕНИ Я
§1. Постановка задачи
§2. Теоремы существования и единственности
§3. Свойства решения при t —у со
Литература
Список работ автора по теме диссертации
ВВЕДЕНИЕ
Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий но той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.
Обратные задачи возникают во многих областях физики и производства. Фактически все инженерные задачи ставятся с целью:
а) создания прибора, аппарата и т.п. с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;
б) оценки экспериментальных данных, получения тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;
в) разумной обработки данных, полученных в результате эксперимента.
Следовательно, теория и методика решения обратных задач составляет важное самостоятельное направление исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.
Из - за специфики обратных задач - их математической ” некорректности” - существенный прогресс в их постановке и решении стал возможен лишь в последний десятилетия в связи с развитием теории некорректных задач.
Принципы подхода к постановкам некорректных задач, естественные с точки зрения приложений, были впервые предложены А.Н. Тихоновым в работе [59]. Наиболее полно современное состояние теории некорректных задач и ее приложение к решению обратных задач отражено в монографиях [24], [-31], [36], [61].
Обратная задача называется одномерной, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят только от одной переменной, в противном случае обратная задача - многомерная.
Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г.Герглотцу [64] и Е.Вихерту [71]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березанским в работе [18]. Дальнейшее исследование многомерных обратных задач проводились М.М. Лаврентьевым [32, 36], В.Г. Романовым [50, 53], Ю.Е. Аниконовым [1, 6], А.Д. Искендеровым [26, 28], М.В. Клибановым [29], А.И. При-лепко [39, 40], Н.Я. Безношенко [8, 11] и другими.

Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [35].
Вопросы, рассматриваемые в диссертации, в основнм связаны с задачами идентификации входных данных параболических уравнений.
Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [19], [23], [57], [62], [63], [67], [69] и других.
Единственность решения обратной задачи для эволюционного кинетического уравнения в случае, когда функция источника зависит от всех независимых переменных, была доказана в [2].
В работе [30] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестным является коэффициент, зависящий от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и являющийся ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.
В работах [54, 56] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид f(t)gx) или f(t) + д(х).
Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [8, 11], [12, 16], [62]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких - либо переменных, входящих в уравнение. В работе [51] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид.
В диссертации получены следующие результаты.
1 [ Доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника Е(г,:с) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде. (4, х) = /(Ь)д(х).
2) Исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного типа в предположении, что функция источника зависит только от временной переменной t. Исследованы вопросы стабилизация решения при I —> оо.
3)Доказаны теоремы существования и единственности ”в целом” для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда

Неравенства (2.8), (2.9) и соотношение (2.5), определяющее связь
между wN и zN, позволяют доказать следующую оценку для функ-
—N ЦИИ Z

(1 + )|Ï V| + / (1 + К 4"I< Мг, к = I.M. (2.10)

Разрешив уравнения системы (2.3) относительно wf Hlfn воспользовавшись оценками (2.9), (2.10), получим
wf I + 41 < М8, (*,.*) е С?[0,п, к = 1,2. (2.11)
Для доказательства ограниченности множества {гВ,Щ} продифференцируем уравнения системы (2.3) по ф Обозначим У1’™
_W ÎT2-W —N as' tTI-V Tt2,JV
, V = Щ Функции V , V удовлетворяют системе урав-
нений
/ v’N - i£AI1F1’iv - iÇA12V2’N + BllV1'N + BUV2'N = -DeVhN + tff,
V2t-N - *Л21',Л - iÇA22V2-N + B21V1'N + B22V2'N = B3W, (i,fl e G[0iT]l и условиям
F1’'V(0,Ç) = 5V®o + 5ai«J0{,
У2'" (0, Ç) = S’Nz0 + SNz0i, & = 1,2.
Здесь = iAnwN + iA2z — 2+ (5Ф + S'jv$/) F0(/? — Вц(3)-- (./уФ +
—JV —N -N -N
-iAn [ SNÇwNdÇ -iA12 f SNÇzNdÇ +F12 [ SNzNdÇ+ D [ SN£2-
+N +N +N +N
wN d£j, = iA2{wN +iA22zN.
Заметим, что в силу условий (2.1), свойств функций 5дг и неравенств (2.9), (2.10) функции iFf', равномерно по N ограничены.
Используя условие (1.8), получим, что для V2,N имеет место неравенство
V2'N
Рассуждая так же, как и при доказательстве ограниченности функций wN, zN, учитывая (2.12), получим, что для почти всех t 6 [О, Г] имеет место неравенство ( в точках, где это неравенство не выполнены, |У1,ЛГ| = 0).
шУ1'* + (lh + tâWhN < Мп( 1 + е) / У1Д| dr + Ми < ми 1+ar'iVi dr+iFi,jvij+Mu