Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях

• Автор: Кечина, Ольга Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 101 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Интегральный аналог задачи Гурса

§ 1. Интегральная задача Гурса в характеристическом

прямоугольнике

1.1. Постановка задач. Теоремы существования и единственности решений 17 у

1.2. Доказательство единственности решения вспомогательной

задачи

1.3. Доказательство существования решения вспомогательной задачи

1.4. Вывод условий единственности решения

§ 2. Интегральная задача Гурса с условиями, заданными в части области

2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения
2.2. Доказательство единственности решения задачи
2.3. Доказательство существования решения задачи
Глава 2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны с интегральными условиями
§ 1. Смешанная задача с интегральными условиями второго рода
1.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода
1.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода
§ 2. Смешанная задача с интегральными условиями первого рода
2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи

2.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи
§ 3. Смешанная задача в произвольной прямоугольной области с
интегральными условиями первого рода
3.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи
3.2. Доказательство единственности решения задачи
3.3. Доказательство существования решения задачи
§ 4. Смешанная задача с интегральным условием, заданным в части области
Заключение
Литература

Введение
Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при исследовании классических задач математической физики и к настоящему времени хорошо изучены. Однако современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач.
Нелокальными принято называть такие задачи, в которых задаются соотношения, связывающие значение искомого решения и, возможно, его производных, в граничных и внутренних точках области. По-видимому, термин "нелокальные условия" впервые введён A.A. Дезиным в работе [12].
В последние десятилетия нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных активно изучаются многими математиками. Исследование нелокальных задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических, биологических, экологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задаётся определённая связь значений искомой функции (или её производных) на границе области и внутри неё. Задачи такого типа могут возникнуть при изучении явлений, связанных с физикой плазмы [73], распространением тепла [1], [80], процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах [53], вопросами демографии и математической биологии [56], некоторыми технологическими процессами [51].
Задачи с нелокальными условиями возникают при математическом моделировании различных физических процессов в тех случаях, когда граница протекания реального процесса, недоступна для непосредственных измерений, но можно получить информацию о его протекании во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Изучая процессы охлаждения тел, В.А. Стеклов [79] построил математическую модель, которая представляет собой задачу интегрирования уравнения
p{x)ut = ихх — q(x)u, а < х < b, 0 < t <Т при начальном условии
и(х, 0) = т(х)

У Н2(х, Г], -1 )Я(£, V, Т])ф] = Я2(£,1/,ас, г/),

IJ Я2(х, П, -1)1 (£, V, ~1)я(£',»/, = яз(£',»/. у)-
С' »з'
После замены обозначений £ на ж, £' на £, у на у, т/ на ?/ (1.22) примет вид:

’{X,У)-J I Н{£,г},х, у)ь(£,1]№(1т1 = <3{х,у), (1.23)

НЦ,г),х,у) = Л(£,?7,у) - Нх{$„г),х,у) - Н2(£,71,х,у) + Ня(£,Г1,х,у).
Ядро Я(£, 77, ж, г/) и правая часть Я(ж, у) непрерывны в Я, следовательно, уравнение (1.23) имеет единственное непрерывное решение и(х,у) [49].
Так как в силу условий теоремы функция Я(ф г/, х, у) имеет производную Нху , функция С(х. у) имеет производную (3Ху, можно убедиться в том, что существует УХу
Действительно, из (1.23)

п(х,у) = ! J Я(€,г1,х,у)у(£,г))(1£(1т] + 0(х,у), о о
и*(х, у) = ( / / Я(£, /?, ж, у)и(£, ц)<2£ + ОДх, у)
О / х
у ух
— J НиФ/ + J J Нту(1£Ф) + Сх,

1’ху = Яи + J пх-и<1 + I I Нху О(ЦФ] + С'ху.

Так как Я(£, у, ж, у), Йх(,г],х,у), Нху{£,Г1,х,у), у(х, у) непрерывны
в Я [83], то Уху{х,у) е С'(Я).