Решение эллиптических и параболических краевых задач методами неполной факторизации

• Автор: Эксаревская, Марина Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 142 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. МЕТОДЫ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ ДЛЯ СЕТОЧНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1.1. Алгебраические особенности сеточных систем уравнений и
постановка задачи
1.1.1. Основные понятия и обозначения
1.1.2. Особенности сеточных систем при неявных
аппроксимациях параболических уравнений
1.1.3. Постановка двумерной параболической краевой задачи с
постоянными коэффициентами
1.1.4. Трехмерная эллиптическая краевая задача
§1.2. Применение итерационных методов для решения сеточных
систем
1.2.1. Общие свойства и анализ итерационных алгоритмов
1.2.2. Рассмотрение метода сопряженных градиентов
1.2.3. Предобусловленный метод сопряженных градиентов
1.2.4. Применение метода неполной факторизации
1.2.5. Корректность и устойчивость неполной факторизации
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ ДВУМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ИХ МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ
§2.1. Анализ параболической краевой задачи с постоянными
коэффициентами
2.1.1. Оценки элементов точных факторизаций

2.1.2. Получение улучшенных оценок элементов точных
факторизаций
§2.2. Оценки неполных факторизаций модельной параболической
краевой задачи
2.2.1. Теорема об оценках норм матриц (7*
2.2.2. Вспомогательные результаты для неполной блочной факторизации
2.2.3. Вспомогательные результаты для неполной факторизации Холесского
2.2.4. Теоремы об оценках чисел обусловленности предобуславливателей матрицы В
§2.3. Методы неполной факторизации для параболических краевых
задач с переменными коэффициентами
Глава 3. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ
§3.1. Постановка эллиптической краевой задачи и оценки блочных
факторизаций
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Оценки элементов матрицы
3.1.3. Оценки элементов матрицы компенсации Бі]
§3.2. Оценки неполных факторизаций трехмерных эллиптических
краевых задач
3.2.1. Теорема об оценках норм матриц С/п
3.2.2. Вспомогательные результаты для неполной блочной факторизации
3.2.3. Теорема об оценках предобуславливателей типа неполной
блочной факторизации для эллиптических краевых задач

Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§4.1. Реализация методов решения на основе алгоритмов работы с
разреженными матрицами специального вида
4.1.1. Схемы хранения разреженных матриц
4.1.2. Алгоритмы работы с разреженными матрицами
4.1.2. Реализация методов неполной факторизации
§4.2. Численный эксперимент
ЛИТЕРАТУРА
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение

итераций, что в асимптотическом случае е <С 1, т/М «С 1 дает приближенное равенство

- (1-51)

В приложении 1 показано, что если сделать дополнительное предположение
О < Л (А) < 1, (1.52)
которое не является существенным ограничением и легко достигается нормировкой исходной системы, то справедливо неравенство
<1лз>
которое свидетельствует о быстром подавлении функционала ошибки на первых итерациях метода сопряженных градиентов.
Из представления функционала ошибки (1.48) вытекает еще одно важное свойство итерационного процесса (1.42), доказанное в приложении 1.
Теорема!..4. Если матрица А положительно определена и имеет т < N различных собственных значений, то метод сопряэюенных градиентов сходится не более чем за т итераций.
Метод сопряженных градиентов допускает обобщение, приводящее к более широкому классу алгоритмов, называемых методами сопряженных

направлений. Это обобщение заключается в отказе от вычисления векторов направлений рк по рекуррентным формулам из (1.42). Вместо этого используются только условия сопряженности (Арк,рп) = 0 при к ф п. Однако наиболее эффективным способом построения последовательности векторов рк на настоящий момент остается метод сопряженных градиентов.
В целях ускорения сходимости метод сопряженных градиентов всегда используется в сочетании с той или иной формой предобуславливания.
1.2.3. Предобусловленный метод сопряженных градиентов Оценить скорость сходимости метода сопряженных градиентов позволяет