Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

• Автор: Аврашков, Павел Петрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 109 с.

Глава 1. Лиевские симметрии ОДУ 3-го порядка
§ 1. ОДУ 3-го порядка, допускающие однопараметрическую группу Ли
§ 2. ОДУ 3-го порядка, допускающие двумерную алгебру Ли
Глава 2. Первые интегралы ОДУ 3-го порядка
§ 3. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих первым интегралом
§ 4. ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускающие лиевские симметрии
§ 5. ОДУ 3-го порядка, первые интегралы которых наследуют лиевские
симметрии
Глава 3. Нелокальные симметрии
§ 6. Нелокальные операторы: общие свойства
§ 7. Нелокальные операторы, допускаемые ОДУ 3-го порядка
Заключение
Список литературы
Приложение
Работа посвящена исследованию симметрийных свойств гладких многообразий, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.
Для современного этапа развития науки характерно стремление к всестороннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение. К таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям.
В широком смысле слова симметрия означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т.е. определение группы И его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики.
Большинство современных моделей в прикладных науках описываются дифференциальными уравнениями, и одним из наиболее перспективных направлений для изучения симметрийных свойств дифференциальных уравнений, построения точных решений и получения нечисловой информации о дифференциальном уравнении является современный групповой анализ, включающий в себя как классический подход С. Ли, так и исследование законов сохранения, дискретных симметрий и (в последнее время) нелокальных аналогов классических симметрий.
Для целей группового анализа оказывается существенной и удобной трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве. Понятие многообразия (впервые предложенное Риманом) является многомерным обобщением понятия поверхности без особых точек. Его первоначальное появление было вызвано потребностями геометрии и топологии. В настоящее время фундаментальное значение (не только в геометрии, но и в анализе) приобрели гладкие многообразия — локально евклидовы пространства, наделённые дифференциальной структурой.
Следуя работам Овсянникова JI.В. [50] и Ибрагимова Н.Х. [39-40], приведем (в формулировках, достаточных для данного исследования) основные понятия, определения и алгоритм классического группового анализа, разработанного в XIX веке норвежским математиком Софусом Ли.
Определение 1 [48]. Топологическим многообразием размерности п называется хаусдорфово (т.е. отделимое) топологическое пространство М, в котором каждая точка хеМ обладает окрестностью U, гомеоморфной открытому множеству пространства R".
Для использования на многообразии понятий математического анализа на нём вводят дополнительную структуру. I
Определение 2 Г9.481. Топологическое многообразие М вместе с; (конечным

или счётным) набором подмножеств UaaM и взаимно однозначных функций фа: С/а-ч- сра(С4) (называемых локальными коорди!натами) называется дифференцируемым (или гладким) многообразием, если
1) совокупность всех Ua покрывает М: U Ua= М;

2) для пересечения любой пары окрестностей U0fU^ Ф 0 композиция отображений
Фр ° Фа-1: фа(£4П1/р) -» Фр(С/аПг7р) является гладкой функцией (принадлежит классу С(т)).
Далее под многообразием будем понимать гладкое связное многообразие. Определение 3 [17]. Общим решением ОДУ n-то порядка
F(x,y,y' y(n>) = 0 (0.1)
будем называть «-параметрическое семейство функций класса О

Щх,у) = и0(рс) + щ(х)у + Ь"у2,
* О0 = УГ5/4[ц0(х) + { {С" - 3и>. - 5Ь'"у)д114с1у ,
(здесь функции Ь(х), с(х), щ(х), ип(х) — произвольны, а А — произвольная постоянная).
Доказательство. При т = 0 из 2гго, 3-го и 4-го уравнений системы (3.21) следует: <Эхху-^иуу=()хуу=(2ууу = 0. Решая эти уравнения совместно с 1-м, получим функции и и б?0 в указанном в теореме виде.
Замечание. Аналогично доказанным теоремам с помощью применённого алгоритма могут быть найдены структуры уравнений, обладающих первыми интегралами полиномиальной структуры более высоких степеней, однако трудоёмкость их поиска быстро растёт с ростом степени полинома.
Теорема 3.11 даёт следующий алгоритм поиска уравнений вида У" = /(х, у), имеющих квадратичный по у" первый интеграл (3.7):
1). Задаём функции Ъ и с, определив тем самым функции и £/;
2). Если известна структура функции / по переменной у, то из 2-го уравнения системы (3.18) находим
ну~^ххУ (3.22)
« если известна структура функции / по переменной х, то из 1-го уравнения
системы (3.18) находим
#*=-£//;
3). Интегрируя полученное выражение по соответствующей переменной, находим функцию Н
4). Подставляя найденную функцию в другое уравнение, расщепляем его по соответствующей переменной и получаем систему для определения функций щ(х) и конкретизации функции
® Более детально этот алгоритм будет проиллюстрирован в следующем параграфе.