Бифуркации инвариантных торов и квазипериодических решений систем дифференциальных уравнений

• Автор: Рузаев, Владимир Петрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 121 c. : ил

С ОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА I. ШУРКАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРОВ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДВУХ НУЛЕВЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ

§ I. Предварительные преобразования

§ 2. Бифуркационная теорема

§ 3. Существование квазипериодических решений на бифурцирующих инвариантных торах

§ 4. Бифуркация инвариантных торов : периодических систем Ляпунова

§ 5. Бифуркация инвариантных торов: и квазипериодических решений одного дифференциального уравнения нелинейных
колебаний

§ 6. Случай двух нулевых корней характеристического

уравнения, с простыми элементарными делителями
ГЛАВА II. КВАЗИПЕРЙОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕАНШТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7. Вспомогательные утверждения
§ 8. Индуктивная лемма
§ 9. Теорема существования
§ 10. Основной результат
ПРИЛОЖЕНИЕ. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ИТЕРАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ
ИЗ §
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра. История исследования таких систем берет начало с классических работ А. Пуанкаре [22] и А. М. Ляпунова [9 - II] . Непосредственное рассмотрение поведения решений при изменении входящих в уравнения параметров было предпринято А. А. Андроновым, чьи работы положили начало теории бифуркаций периодических движений. Эта теория получила в настоящее время интенсивное развитие в связи с обнаружившимися ее обширными приложениями (см. [12] , там же можно найти библиографию по этому вопросу). В данной работе изучается бифуркация инвариантных торов и квазипериодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Постановке задачи предпошлем следующее
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция та) называется: квазипери-одической с базисными частотами со1 ,сог соп , если вещественные числа СО1у со2 £оп рационально независимы и существует функция и(&1,0П) , -периодическая по каждому аргументу, такая, что РШ3+ щт)сопЬ +<р„) ? Где
- некоторые константы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим вещественную систему дифференциальных уравнений
х-Дс£)х + X(I) где X - двумерный вектор, А -2x2 -мерная матрица, имеющая комплексно сопряженные собственные значения с^(£) и такие,
что о1(о)= 1Я и ; функция X аннулируется при % = о
вместе со своими частными производными первого порядка по компонентам вектора: X ; здесь £ - малый параметр.

Эту систему в аналитическом случае при £=о исследовали
различения центра: и фокуса и введены величины, получившие впоследствии название "ляпуновские”. При наличии параметра возникает проблема бифуркации предельного цикла из положения равновесия. Эту задачу решали А. А. Ацдронов, Э. Хопф и др. (см. [12]). При этом, как правило, от системы (I) переходили к уравнению
где г , <р - полярные координаты, функция К со -периодична по ^ и аннулируется при г = о вместе со своей частной производной по г . Суть результата Андронова-Хопфа состоит в выводе бифуркационного уравнения для определения предельного цикла вида
При рассмотрении окрестности периодической траектории возникают системы дифференциальных уравнений вида
і и имеет по і период иох . Для таких систем Ю. И. Неймарк [20] , Д. Мырзалиев [18, І9І , Р. Сакер І30] исследовали проблему бифуркации инвариантных торов: из положения равновесия.
Ю. Н. Бибиков [2І исследовал вопрос о существовании квазиперио-дических движений на бифурцирующих инвариантных торах. При этом, как правило, переходили к системе дифференциальных уравнений виА. Пуанкаре [22] и А. М. Ляпунов [9] . Ими были найдены условия
■^=І?Є=иОГ +
(2)
х = Ашх, + X а,*,є),
где А ,Х такие же как в (I), только теперь X зависит от

Г = |3еэи£)г + ф = і + Ф а, ч г, а),
(3)

вращения на инвариантных торах. Таким образом, выражение (1.51) представляет формулу, приближенную с точностью до О(ыГ) для вычисления чисел вращения на множестве Дс8)
§ 4. Бифуркация инвариантных торов периодических систем Ляпунова.
Рассмотрим вещественную систему дифференциальных уравнений
%=У + ХС1,Х,У,Х, £),
у- Уа,х, У, (1.54)
£ = Ха,х.,у,*,£) +Сх?
где X , У - скалярные величины, % - вектор размерности тг? ,
£ - малый параметр, функции X ,У ,Х соА -периодичны по
О, £, 3;
X , У ,Х ^ С{>х,у,х,г в области
1 £ /Я, 1У1<Уо, 1£|<£о, II*
где (I II - евклидова норма. Пусть функции X ^ У } X и
их частные производные первого порядка по X , У , *>
( т ; Ху - компоненты вектора % ) аннулируются
при Х-У-о , ;с=о # Здесь 5 - натуральное число
Сг - постоянная 7П*т -мерная матрица, собственные значения которой имеют отрицательные вещественные части.
К системе (1.54) можно применить результаты, изложенные в [211 . А именно, добавим к системе (1.54) уравнение
8=0.
Тогда полученная система уравнений имеет асимптотически устойчивое инвариантное многообразие, представимое в виде