Теория общего регулярного пучка обыкновенных дифференциальных операторов и ее приложения

• Автор: Ибрагимов, Мурад Гаджиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 86 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА I. Асимптотика по параметру для решения
дифференциальных систем и понятие регулярных пучков.
§ 1. Общая теорема об асимптотике решений систем
линейных дифференциальных уравнений с большим
параметром
§ 2. Следствие асимптотической теоремы, частные случаи. 26 § 3. Определение понятия регулярных пучков
дифференциальных операторов
§ 4. Анализ понятия регулярности пучков
Глава II.Разложение произвольных функций в обобщенные ряды Фурье по собственным элементам регулярных пучков операторов.
§1. Функция Грина пучка (27)-(28)
§2. Полюсы функции Грина. ;Л'*
§3. Асимптотическое представление функции Грина и
вспомогательные леммы
§4. Формула п-кратного разложения по собственным
элементам пучка (27)-(28)
ГЛАВА III. Приложение теории регулярного пучка к решению задач математической физики.
Часть 1. Решение смешанных задач для плоских линейных гиперболических уравнений общего вида методом Фурье-Биркгофа.
§ 1. Построение фундаментального решения и теорема
единственности
§2. Теорема существования решения
§3. Примеры
Часть 2. Случай параболических уравнений.
§ 1. Построение решения и его единственность
§2. Теорема существования
§3. Частные примеры
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Теория обыкновенного регулярного линейного дифференциального оператора п-го порядка на конечном отрезке была разработана в классических работах Г. Биркгофа [43], [44]. Широкое обобщение она нашла в работах Я. Д. Тамаркина [31], [51]. Хотя Я. Д. Тамаркин стал фактически рассматривать пучки обыкновенных дифференциальных операторов, он ограничился лишь простыми, однократными разложениями функций в ряды по элементам пучка. Это упущение было наверстано в широко известных работах М. В. Келдыша [21], [22], посвященных пучкам операторов, чуть позже в работах И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна [6], М. Л. Расулова [30] и многих других.
Для широких классов дифференциальных операторов, в том числе в частных производных, оригинальные и завершенные исследования даны в работах В. А. Ильина и его учеников [13]-[20].
С другой стороны, начиная с работ Гопкинса, Джексона, Уорда [49], [50], [52], [53], М. В Келдыша, В. Б. Лидского [26], [27], А. П. Хромова [34]—[ЗТ], А. Г. Костюченко, А. А. Шпаликова [24], [38]—[40], Эбегарда [45], А. И. Вагабова [3]—[5], Фрейлинга [47], [48] изучены некоторые более широкие классы дифференциальных операторов — нерегулярные дифференциальные операторы и пучок обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Много работ посвящено линейным самосопряженным ” сингулярным” операторам.
Подспорьем теории пучков линейных дифференциальных операторов (в частности регулярных) является теория смешанных задач уравнений математической физики, в том числе теория обобщенных рядов Фурье для решения этих задач.
В этом отношении отметим, что традиционный метод Фурье при-

ложим лишь в случае задач, для которых ее ’’пространственный оператор” является самосопряженным [2], [7], [23], [25], [26].
Следует, однако, подчеркнуть, что на сегодняшний день отсутствует законченная теория регулярных пучков обыкновенных дифференциальных операторов общего вида (см. ниже формулы (3)-(4)). Особенно это относится к трём пунктам:
1. Не были выяснены окончательные условия гладкости коэффициентов пучка.
2. Понятие регулярности удачно сформулированное Г. Бирк-гофом для частного случая, не нашло ясного продолжения. Это трудное понятие приводилось в запутаной форме, связанной с массой параметров и индексов, и недоступной с практической стороны, что являлось причиной частых заблуждений.
3. Строго говоря, нет ни одной работы конкретно посвященной именно пучку (3)—(4), являющемуся важнейшим обобщением случая, рассмотренного Г. Биркгофом.
Нами предложены новые асимптотические по параметру формулы решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, даже в случае кратных корней характеристического уравнения. При этом найдены предельно слабые условия гладкости коэффициентов уравнения.
Удалось найти ясное геометрическое определение регулярности краевых условий, хорошо включающее в себя определение Г. Бирк-гофа и другие известные частные случаи. Установлена теорема об п- кратном разложении в ряды Фурье, п функций по цепочкам для собственных и присоединенных функций пучка (3)-(4).
На основании построенной теории обоснована обобщенная теория рядов Фурье в приложении к широкому классу (не рассматривавшемуся ранее) смешанных задач для линейных дифференциальных

Вместе с указанным определителем, соответствующим данному набору ei
В силу групповых свойств £—корней из отличия от нуля двух названных определителей следует отличие от нуля определителей, относящихся ко всем остальным наборам (см. [29, стр. 67]).
Таким образом, из общего условия в), найденного нами, легко получить классические условия регулярности граничных условий по Биркгофу.
§ 4. Анализ понятия регулярности пучков
Понятие регулярности краевых условий после Г. Биркгофа подвергалось многочисленным обобщениям [31], [30], приводилось в фактически непроверямой или трудно проверяемой форме, связанной с массой разных параметров и индексов, это налагало тяжелый отпечаток на теорию. Определение 2 по стилю близко к определению А. И. Вагабова [3] и уточняет его. Наша ближайшая цель — анализ этого определения.
Пусть т* = max т — максимальное количество (-корней, которое может содержать внутри какая-либо Л-полуплоскость.
Предложение 1. Необходимым условием регулярности пучка . (27)~(28) является условие
г* min (rank a, rank ß). (32)
Доказательство. Пусть (32) нарушено, то есть
т* > min (rank a, rank ß)
(33)