Исследование решений некоторых нелинейных интегральных уравнений Вольтерра в окрестности особых точек

• Автор: Байзаков, Асан Байзакович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 106 c. : ил

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ЕЕПШЗШЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 12
ВОПЬТЕРРА (ИУВ) С РЕГУЛЯРНЫ® ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ § I, Об ограниченных решениях нелинейных ИУВ
§ 2. Асимптотика исчезающего решения нелинейного ИУВ
Глава II. РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ИУВ В ОКРЕСТНОСТИ 32
РЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ § 3, Аналитическая структура решений нелинейных ИУВ
§ 4. Построение семейств исчезающих решений нелиней
ных ИУВ
Глава III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА 53
РЕШЕНИЙ ИУВ В ОКРЕСТНОСТИ ИРРЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
§ 5. Асимптотическое представление решений линейного
однородного ИУВ: действительная независимая переменная
§ 6. Асимптотическая и аналитическая структура реше
ний нелинейного скалярного ИУВ: действительная независимая переменная § 7, Асимптотическая и аналитическая структура реше
ний систем нелинейных ИУВ: комплексная независимая переменная § 8. Асимптотическое разложение решения систем нели
нейных ИУВ со свободным членом: комплексная независимая переменная ЛИТЕРАТУРА

В последнее время наблюдается резкое возрастание интереса к теории интегральных уравнений Вольтерра (ИУВ). Интерес к этой теории вызван неуклонным ростом их применений в прикладных задачах (в математической биологии, математической физике, теоретической экологии и др.), а также тем, что уравнения Вольтерра являются не просто частным случаем уравнений Фред-гольма, а составляют особый класс уравнений со своими специфическими задачами.
ИУВ встречаются еще в работах Абеля (1826 г.), Лиувилля (1838 г.), Каке (1864 г.), Фукса (1870 г.) и Пеано (1888 г.) [б0;59;82]. Впервые к таким уравнениям с самой общей точки зрения подошел В.Вольтерра[ 79-81], откуда они и получили свое название.
Совсем недавно М.К.Керимов привел обширную библиографию некоторых новых работ по интегральным и интегро-дифференциаль-ным уравнениям как Дополнение к переводу монографии В.Вольтерра [ 20 ].
Библиография, приведенная А.З.Цалюком в [бо] вместе с довольно богатой библиографией, имеющейся в [20], дает возможность оценить направления развития теории этих важных для приложений уравнений. Кроме того, имеется обзорная статья [35], в которой отражены работы советских математиков, опубликованные в последние 15-20 лет, посвященные исследованию интегральных уравнений.
В наиболее общем виде, при котором не теряется его специфика, нелинейное интегральное уравнение первого и второго рода с параметром, входящим регулярно, можно записать так:

ЪЧСЬл,т),л)^,2) =о, ±&<2,

= /Я. , ,
где , (X - непрерывные функции, X - действительный или комплексный параметр.
Хорошо известно, что задача решения уравнения Вольтерра первого рода является некорректной задачей. А.Н.Тихоновым и его учениками предложен метод регуляризации решений нелинейных интегральных уравнений первого рода, а затем эти задачи решались численными методами с применением ЭВМ [58]. М.М.Лаврентьевым предложен ряд основополагающих методов типа последовательных приближений для нелинейных операторных уравнений первого рода [38]. В [34] М.И.Иманалиев в пространстве непрерывных функций применяет регуляризацию при помощи сингулярных возмущений, при которой интегральные уравнения первого рода заменяются интегро-дифференциальными уравнениями второго рода с малым параметром при производной.
Г.С.Литвинчук в [40;41;43] изучал поведения решений интегральных уравнений с аналитическими ядрами в окрестности особых линий, в работе [42] им рассмотрены особенности интегральных уравнений Фредгольма в случае подвижного полюса.
АЫ.Шешко и В.С.Мастяница [64] предложили элементарный способ получения точного решения одномерного сингулярного интегрального уравнения.
В.Р.Винокуровым [14-1б] введены для нелинейных ИУВ второго рода определения сильной устойчивости, асимптотической устойчивости и т.д., соответствующие аналогичным понятиям для обыкновенных дифференциальных уравнений. Периодические и почти периодические решения интегральных и интегро-дифференци-

где к - целое ? Замена переменных
уравнения (3.2) приведет к виду
к г* *-л г1 1 K+i
t Щ = Л 3 ir(s)ols + fJft'Sl vfsjjds + >
° J- °
где YI(*Av) - голоморфная функция по переменным i,sf 1Г
Полагая S=£^, из последнего уравнения имеем
tv(i)~xfö4'lv( о о
где hdi
J 1£iik
голоморфная функция по переменным -i S} tf . Так как
+f ? ftc+J 3 из (4.18) при получим уравнение
Тг*ф)~Ц [<ГЦ'1Щ<«? * Ц ,Щ) в dr +J/HU.IS)
О о
гле = s КС* >*,*)-
/«$*+1
голоморфная функция по своим переменным.
Уравнение (4.19) принадлежит классу уравнений, который изучался в [бб] . Если не целое число, то интегральное уравнение (4.19) имеет единственное голоморфное решение

Если +т , /п - целое у 1 , то интегральное уравнение (4.19) тлеет решение вида