Краевые задачи для уравнений с сильным вырождением в классах функций, неограниченных на характеристиках

• Автор: Аглямзянова, Гульшат Накиповна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 88 с.

ГЛАВА 1. О задаче Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным

вырождением

§ 1. Случай дробных отрицательных коэффициентов

уравнения

§ 2. Случай 0 < а + п < 1, р = -к +1

§ 3. Случай а = -п + , 0

§ 4. Случай а = -п, р =-к

ГЛАВА 2. Задача Трикоми для одного уравнения в классе функций,

неограниченных на характеристике

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Вывод основного соотношения из эллиптической

подобласти
§ 3. Вывод основного соотношения из гиперболической
подобласти
§ 4. Вывод интегрального уравнения и решение
задачи
§ 5. Поведение решения задачи на характеристике ВС
ЛИТЕРАТУРА.

Теория краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Начало этому направлению было положено в 20-х годах прошлого столетия в работах Ф.Трикоми [48] и С.Геллерстедта [67], в которых они рассмотрели соответственно для уравнений
краевые задачи, впоследствии получившие их имена.
К постановкам этих первых задач их авторы пришли из чисто теоретических соображений: они хотели заполнить пробел в данной области. Позднее Ф.И.Франклем [52] были обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных ей к газовой динамике. Вскоре были найдены и другие применения (см., напр., [10,11, 38, 53, 54]): теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака, магнитная гидродинамика. Все это явилось причиной для возникновения широкого фронта исследований подобных задач. В нашей стране возник целый ряд научных групп, которые успешно вели работу в этом направлении. Наиболее существенное влияние на эту работу оказали результаты А.М.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, Л.В.Овсянникова. В дальнейшем эти задачи изучались многими авторами, как в нашей стране, так и за рубежом. Достаточно полный обзор проводившихся исследований и библиография содержатся в монографиях А.В.Бицадзе [7, 9], Т.Д.Джураева [17], Ю.М.Крикунова [34], М.М.Смирнова [45], а также в статье А.В.Бицадзе
В зависимости от того, является ли линия изменения типа огибающей характеристик, или нет, уравнения смешанного типа подразделяются на уравнения второго и первого родов соответственно. Мы, по аналогии с
У«„ + иуу=0,
ут ихх + иуу = 0, т = 2п +1, п е N
(0.1)
(0.2)
[8].

Получим необходимые нам соотношения между функциями
т{т]) и (/,.(?7) из областей О,. Сначала рассмотрим область О,. Тогда
из (1.7) с учетом (1.4) имеем
, . Йгс,,(0)(ог), , Г(1 -а-Р)
Р07) = Е~г: т——гг к(0(т/-О Г '*
^«!(а + /9> 2Г(1 — се)Г(1 — /?) *
= (1.75)
Применим к равенству (1.75) оператор В;° и обозначим
1П+1
Отметим, что в данном случае также имеет место соотношение
(1.66).
Рассмотрим второе слагаемое /(
«=0 п
Воспользуемся интегральным представлением бета-функции. Получим
V - ^ г(ао>
1 (« + /?), Л Г(а0 +л-1) '
Выполним дифференцирование. В результате
рассматриваемое соотношение примет вид
Л'-гК)£ <л-*щ !-■ (1-76)
С учетом равенств (1.66), (1.76) из формулы (1.75) имеем
к,,Г0.-« :-№.у>У|М.
йт]"+'1 2Г(1 - /?)
= Г(а0)Х~ чу
Откуда легко получим