Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред

• Автор: Вайгант, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 234 с.

Оглавление
Введение
1. Вспомогательные сведения
1.1. Функциональные пространства
1.2. Специальные неравенства и теоремы вложения
2. Исследования краевых задач для одномерных уравнений Навье-Стокса в переменных Эйлера
2.1. Постановка задачи и основные результаты
2.2. Вспомогательные уравнения и леммы
2.3. Априорная оценка полной энергии
2.4. Оценки сверху и снизу для плотности и температуры снизу
2.5. Оценки для производных. Сильные решения
2.6. Стабилизация решений
3. Примеры несуществования ”в целом” решения для многомерных уравнений движения сжимаемой вязкой среды
3.1. Примеры начально-краевых задач и утверждения
3.2. Построение примера
3.3. Построение примера
4. Существование ”в целом” решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды
4.1. Постановка задачи и основные результаты
4.2. Дополнительные системы дифференциальных уравнений

4.3. Первая априорная оценка для скорости и плотности
4.4. Вторая априорная оценка для плотности
4.5. Вторая априорная оценка для скорости
4.6. Оценки старших производных вектора скорости
4.7. Сильные и классические решения
4.8. Существование обобщенных решений
5. Глобальные решения для уравнениий Навье-Стокса с функциями состояния типа Ван-дер-Ваальса
5.1. Постановка задачи и основные результаты
5.2. Вывод специальных систем уравнений
5.3. Первая априорная оценка для скорости и плотности
5.4. Вторая априорная оценка для плотности
5.5. Вторая априорная оценка для скорости
5.6. Третья априорная оценка для скорости
5.7. Оценка для плотности сверху и снизу
5.8. Оценки производных первого порядка для плотности
6. Глобальные решения для уравнений Навье-Стокса при малых числах Рейнольдса
6.1. Постановка задачи и основные результаты
6.2. Существование обобщенных решений
6.3. Оценки в случае двух пространственных переменных
6.4. Оценки для плотности. Единственность решения
6.5. Оценки для производных. Существование гладких решений
Литература

Введение
В теории дифференциальных уравнений математические проблемы механики сплошной среды составляют интересный и важный класс задач, актуальность которых обусловлена многочисленными приложениями. С теоретической точки зрения уравнения механики сплошной среды издавна привлекают внимание особенностями постановок задач и своеобразием методов их решения. В последнее время интерес к этим уравнениям особенно повысился в связи с появившимися новыми важными идеями и результатами, которые поставили ряд оригинальных проблем в различных областях математики.
1.Модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды.
В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости и сжимаемого вязкого теплопроводного газа. Эта модель включает в себя систему дифференциальных уравнений, которые выражают в дифференциальной форме законы сохранения массы, импульса и энергии [121], [101], [10], [77]
~ + сЦу(ри) = 0, (1)
+ {й = сЫьР + р/, (2)
= сИу(счХ76) + Р :1) + рд. (3)
В системе (1)-(3) приняты следующие обозначения: р - плотность, е0
внутренняя энергия, 9 - абсолютная температура, й = («1

,(|£ + (й.у)ео)

Основные результаты по однозначной разрешимости поставленной задачи формулируются следующим образом.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть данные задачи удовлетворяют следующим условиям гладкости
(/>°,гЛ0°) € (О), (щ,и2,РъР2,91,в2) е ГС,1 (О, Г)
и условиям согласования
0,(О)=0°(О), 02(О) = 0°(1), Л(0)=я°(0), й(0) = Д1), «1(0) = а°(0), а2(0) = и°(1).
Если выполнены условия (2.1.4),(2.1.10), то существует единственное сильное решение задачи (2.1.1)-(2.1.9), которое обладает следующими свойствами
Щ)€М0 ,Г;И(П)), §6(0),
(«((), Щ)) 6 £со(0,Г; ЩДП)) П Ь2(0,Т; ЮШ)),
(ж’ш)ЕЬШ §7еЬ„(0,Т;Ь2(П)),
и существуют числа 0 < гад) < < ос такие, что
< р(х,(), 0(х,Ь) < М«, (ж, £) 6 <5-
Если дополнительно
р° € С1+а (П), (и0,9°) € С'2+а (ГУ),
(щ,и2,Р1,р2,1,) 6 С1+2[0,Т], а € (0,1),
и выполнены условия согласования первого порядка данных задачи, то существует единственное классическое решение задачи, удовлетворяющее следующим условиям
(и, в) € С2+аД+(д), р € с1+аД+ад),
причем существуют числа 0 < т < М < оо, такие, что
0 < < р(х,Ь), 0(ж,£) < М® < оо, (х,£) 6 (2-