Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости

• Автор: Бризицкий, Роман Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение
1 Постановка краевых задач. Основные сведения
1.1 Постановка краевых задач
1.2 Функциональные пространства
2 Разрешимость краевых задач для уравнений МГД вязкой жидкости со смешанными граничными условиями
2.1 Разрешимость краевой задачи с однородными смешанными краевыми условиями для скорости
2.1.1 Определение слабого решения задачи 1а
2.1.2 Единственность слабого решения задачи 1а
2.1.3 Доказательство глобальной разрешимости
2.2 Анализ линейной краевой задачи МГД
2.3 Разрешимость неоднородной краевой задачи
2.3.1 Определение слабого решения задачи
2.3.2 Доказательство глобальной разрешимости
2.4 Уравнения МГД с альтернативными граничными условиями
3 Исследование задач управления для стационарных уравнений МГД вязкой жидкости
3.1 Постановки и разрешимость задач управления

3.1.1 Постановка и разрешимость задачи управления в общем случае
3.2 Вы иод и анализ системы оптимальности
3.2.1 Сущестнонапие множителей Лагранжа
3.2.2 Вынод дифференциальных ураннеиий и граничных условий для множителей Лагранжа
3.3 Единственность решения экстремальной задачи
3.3.1 Положительность множителя Лагранжа Ао
3.3.2 Единственность решения экстремальной задачи для функционала Jl
3.3.3 Единственность решения экстремальной задачи для функционала
3.4 Экстремальная задача для системы Навье - Стокса
Заключение

Введение
Магнитная гидродинамика (МГД) представляет собой теорию макроскопического взаимодействия электрически проводящих жидкостей и электромагнитных нолей. Она имеет важные приложения в астрономии и геофизике, а также в таких инженерных областях как управляемый термоядерный синтез, охлаждение ядерных реакторов жидкими металлами, электромагнитное литье металлов, МГД - генераторы и МГД - ионные двигатели.
Хорошо известно [1-5], что течение вязкой проводящей несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса для скорости и давления и уравнениями Максвелла без токов смещения для электромагнитного поля. Указанные уравнения связаны между собой через силу Лоренца и обобщенный закон Ома для движущейся жидкости. Однако, если уравнения Навье-Стокса следует рассматривать лишь в области О, занятой жидкостью, то уравнения Максвелла нужно рассматривать как в области С1, так и в ее внешности Ое = Е311 При этом электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям магнитной гидродинамики (вместе со скоростью и давлением) в П, уравнениям Максвелла в Г2е и определенным условиям сопряжения на границе Г области Г2. Подчеркнем, что указанный эффект, связанный с необходимостью рассмотрения уравнений Максвелла всюду в пространстве К3, существенно отличает задачи МГД от задач гидродинамики и серьезно осложняет их теоретическое исследование. Именно по этой причине большинство работ по исследованию уравнений МГД было посвящено изучению ситуаций, когда внешнее электромагнитное поле не является существенным, так что им можно пренебречь, либо свести его действие к соответствующим неоднородным
Здесь константы, М и Л/2 определяются соотношениями о (2.33) и (2.35). Полагая х = (и,Н,г), наедем оператор Ф = (Фі.Фг.Фз) : X —> У, где
X = Й£(П) х Н‘(П) х ^о(^). у = Щт х ^2(^) х #1/2(Г), (2-37)
Фі(х) = Л((и,Н)) + В*г, Ф2(х) = сііуц, Ф3(х) = 7,.Н = Н • п. (2.38)
По построению оператор Ф линеен, определен и непрерывен на всем X, а в силу леммы 2.3 он сюръективен и обратим. Тогда из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что оператор Ф : X У - изоморфизм. Сформулируем полученный результат.
ТЕОРЕМА 2.2. При выполнении условий (і), (іі) и (иі) оператор Ф : X —> У, определяемый формулами (2.37), (2.38), осуществляет изоморфизм.
Используя установленные выше результаты об оценках решения линейной задачи (2.28)-(2.30), мы можем теперь дополнить результаты о разрешимости задачи 1а приведением априорной оценки для напора г. Для этого достаточно записать соотношения (2.8), (2.9) для (и, Н,г) в виде (2.28), (2.29), полагая формально й = и, Н = Н, и воспользоваться оценкой в (2.36) для напора г и оценками в (2.27) для и и Н. Получим
1И| < $(А. + С%и + (%ит + 7М„ + 2/х7іЛ/н). (2.39)
Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 2.3. При выполнении условий (і)-(іи) для любой тройки (ф д, д) Е Ь2(П)хЯ_1/2(Г2)хН1!2(Т) существует по крайней мере одно слабое решение (и,Н, г) Е X задачи 1а и справедливы оценки (2.27), (2.39), где константа Мі определена в (2.33).
2.3 Разрешимость неоднородной краевой задачи
В этом разделе мы докажем существование решения краевой задачи для системы (2.1), (2.2) при неоднородных смешанных граничных условиях для скорости и неоднородных условиях для электромагнитного поля без ограничений