Интегрируемые системы кирального типа

• Автор: Кащеева, Ольга Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 120 с.

1 Необходимые условия существования представления
Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли
1.1 Системы уравнений кирального типа
1.2 Представление Лакса систем кирального типа
1.3 Необходимые условия существования представления
Лакса
2 Представление Лакса уравнений киральных полей
2.1 Киральные поля со значениями в пространствах аффинной связности
2.2 Модифицированные уравнения главных киральных
полей
2.3 Преобразования Бэклунда
2.4 Законы сохранения модифицированных уравнений
главных киральных полей
3 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида С/(Я1 х ... х Нр)
3.1 Модификация конструкции Лезнова-Савельева

3.2 Лагранжевы системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида 0/(#1 х ... х Нр)
3.3 Примеры систем, ассоциированных с симметрическими пространствами 50(6)/(50(3) х 50(3)) и 02/(50(3) х 50(3))
4 Системы с приводимыми метриками
4.1 Интегрируемое расширение уравнения вт-СогсЬп
4.2 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида 50(р + 3)/(50(р) х 50(3)) и
50(р + 2)/(50(р) х 50(2))
Литература

Одним из наиболее эффективных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время является метод обратной задачи рассеяния. Поэтому актуальной остается задача описания систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым применим данный метод. Как известно, необходимым условием применения метода обратной задачи является наличие представления Лакса, т.е. представления изучаемой нелинейной системы в виде условий совместности некоторой вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений. Кроме того, представление Лакса часто оказывается полезным для построения преобразований Бэклунда и бесконечных наборов законов сохранения (см., например, [9],[13],[66]).
В диссертации изучаются системы киралыюго типа, т.е. специальный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными. Системы такого вида находят применение при описании ряда моделей теории поля, в математической физике, а также в теории гармонических отображений (см., например, [53]).
Интегрируемая система (см., например, [28],[31]) в диссертации понимается как система, допускающая представление Лакса.
Исторически одним из первых интегрируемых примеров рассматриваемого класса, для которого был применен метод обратной задачи, является уравнение sin-Gordon. Представление Лакса для этого уравнения построено в работах Л.А. Тахтаджяна [30] и M.J. Ablowitz’a, D.J. Kaup’a, A.C. Newel’a, H. Segur’a [62]. В качестве других известных примеров интегрируемых систем киралыюго типа можно указать уравнения п-поля [65], уравнения главных ки-ральных полей на группах Ли [14], которые дали название всему

зоры кручения для этих связностей отличаются знаком. Кручение нейтральной связности равно нулю.
Пусть Ха = — базис, двойственный к базису Фа. Рассмотрим левую каноническую связность на группе Я, т.е. связность, определенную параллелизацией при помощи левоинвариантных векторных полей Ха по формуле
УхК = (.Хуа)Ха,
где У = уаХа. Пусть 7^7 — коэффициенты связности в неголоном-ном базисе Ха, т.е. '/х13Х1 = 'у^Ха. Очевидно, что для левой канонической связности = 0. Отсюда следует, что коэффициенты = Т“(Т^ + ^іиТаТр) связности в голономном базисе имеют вид
а% = тут,7 (2.18)
и тензор кручения
да /ча ппатб
01 ~ [07] — 5 ЬА •
Тогда коэффициенты и тензор кручения правой связности в голо-иомном базисе имеют вид
(2.19)
л а _ грагрб
Л07~ 16 1{0,1}-
Наконец,
-ТГДад (2.20)
— коэффициенты нейтральной связности в голономном базисе.
Определение 2.2 Системой уравнений главных киралъных полей называется система (Е), коэффициенты которой являются коэффициентами нейтральной связности на группе Я, т.е. имеют вид (2.20).(см., например, [31])