Квазиоднородные спектральные задачи

• Автор: Саркисян, Павел Степанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

Оглавление
1 Задача Штурма - Лиувилля
1. Проблема спектра и изоспектральности
2. Квазиоднородные струны
2.1. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны
3. Задача восстановления квазиоднородной
струны по ее части
4. Канонические системы
5. Построение квазиоднородных канонических систем
6. Квазиоднородные спектральные задачи на графах
6.1. Спектральная задача на графе
6.2. Пример квазиоднородной неоднородной задачи на графе
2 Условия квазиоднородности для струны
1. Постановка задачи
2. Пример: однородная струна
3. Уравнение спектра струны с кусочно-посто-янной плотностью.
Матрица перехода
4. Условия квазиоднородности в виде системы алгебраических уравнений

5. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, закрепленной на концах
6. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, свободной на концах
7. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, соединенной в кольцо
8. Струны квазиоднородныс по отношению к двум типам граничных условий
3 Восстановление квазиоднородной струны
1. Постановка задачи
2. Задача о восстановлении квазиоднородной струны по её левой
части: сведение к алгебраической задаче
3. Выделенные матрицы
4. Восстановление квазиоднородной струны по ес левой части
5. Приложение. Вычисление элементов выделенной матрицы
4 Канонические системы
1. Постановка задачи
2. Общее решение системы; матрица перехода
3. Уравнение спектра п-звенной канонической системы
4. Условия квазиоднородности
5. Построение квазиоднородных систем
6. Задача факторизации
6.1. Алгоритм факторизации
7. Задача построения отмеченных матриц

8. Примеры 3-х звенных квазиоднородных канонических систем
5 Квазиоднородность на графе. ТО
1. Спектральная задача на графе
2. Уравнение для определения спектра графа «ракетка»
3. Вывод

Эта теорема была доказана в совместной с P.C. Исмагиловым работе [23].
6. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, свободной на концах.
Рассмотрим другой случай задачи, - задачи для струны свободной на концах
Г у"(х) = —Хру(х),
{ у) = уЪ) = 0.
Учитывая матричное выражение из (2.5), мы получаем, что уравнение спектра может быть записано в виде (М)2х = 0 и, на основании (2.7), определяем искомое уравнение.

П7та* 4- т-<Хк)1~ьк - т.-Ьк
ЬеВп к=1 к=1 к
||Ь||
{[(хак + зГ“*)1“6* - х~ак)Ьк Д ак~ь* = 0.
Как и для предыдущего случая, условие сбалансированности ад = а.
Полученная запись уравнения спектра и ее сравнение с аналогичной записью уравнения спектра для закрепленной струны, позволяют нам, используя те же самые преобразования, записать результат подставив вместо Ъ*, —Ь*, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.5 Струна ,ап, свободная на концах, квазиоднородна тогда
и только тогда, когда для всех т, таких, что 1 т п, т - нечетно, величины
1 Ті агз ’ ' ' агт

с”і.ТД, “Ь
равны одной и той же, не зависящей от т, константе.