Поведение решений вырождающихся эллиптических систем в окрестности многообразий вырождения

• Автор: Сергиенко, Людмила Семеновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 86 c. : ил

Глава I. Задача Кош для систем дифференциальных уравнений первого порядка, вырождающихся на начальной плоскости

§ I. Задача Кош для вырождающейся системы

смешанного типа

§ 2. Задача Кош для системы (І.І) в случае бицилиндрической области голоморфности начальных данных

§ 3. Задача Кош для одной вырождающейся эллиптической системы

Глава 2. Краевые задачи для вырождающихся систем

первого порядка

§ I. Краевая задача для системы (І.І)

§ 2. Смешанная задача для системы (І.І) в полубесконечном цилиндре

§ 3. Задача Дирихле для системы (І.II)

Глава 3. Задача Дирихле для системы дифференциальных

уравнений первого порядка, вырождающейся внутри области
§ I. Задача Дирихле в цилиндре
§ 2. Задача Дирихле для одного вырождающегося
эллиптического уравнения
§ 3. Применение альтернирующего метода к решению
задачи Дирихле

Большую роль в теории функций комплексного переменного и в теории уравнений с частными производными играет система Коши-Римана
их + % ' 0 , ъх-иу=о.
К ней приводят многие плоские задачи гидро- и газодинамики, теО' рии упругих оболочек и др.
Аналогом системы Коши-Римана в трехмерном пространстве служит система Мойсила-Теодореско
Ь}х-%-Зу~0, 5х-^^=0.
Она может быть использована для введения в трехмерном пространстве аналогов голоморфных функций комплексного переменного. Эта система достаточно полно исследована А.В.Бицадзе [1-2].
Системы, обобщающие систему Мойсила-Теодореско, рассмотрены в [47-48]. В [48] приводится один из способов построения таких систем с помощью любого уравнения второго порядка с тремя независимыми переменными.
Так, с помощью уравнения
получена система

а3 + + ~+ ^с-~
Эта система является наиболее широким естественным обобщением
системы Мойсила-Теодореско в трехмерном пространстве.
Аналогичные системы рассматриваются в [48] и в четырехмерном пространстве.
При решении многих важных задач механики сплошных сред, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, безмомент-ной теории оболочек и др. встречаются и более общие системы, которые могут менять тип и вырождаться. Особо значительную роль играют такие системы в гидро- и газодинамике.
Вырождение порядка или типа как у системы, так и у одного уравнения, может повлечь за собой нарушение корректности постановки классических краевых задач. В этом случае оказываются корректными краевые задачи в видоизмененной постановке, которая заключается иногда в задании условий с весами, иногда в освобождении части многообразия вырождения - носителя краевых условий - от задания. Это происходит потому, что вырождение, как правило, влечет изменение структуры решений, например, приводит к появлению особенностей у всех или у части решений в окрестности точек многообразия вырождения [39-43].
Первые работы в этой области посвящены изучению вырождающегося уравнения

где а («)ж-±ншт*:
О V / % Л
а <РЦЧ) произвольная голоморфная внутри Р функция.
Чтобы удовлетворяла краевому условию из (2.7), Ф нужно выбрать такой,чтобы
Ле^ = Т,
где У' вычисляется через заданную в (2.3) функнию ^ и &о '
- Я& 0.0^ ^е~Яу/ .
Задача восстановления голоморфной в области функции Ф по её действительной части З'*' »заданной на границе области,является частным случаем задачи Римана-Гильберта»решение которой определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого при любой непрерывной по Гёльдеру функции г [в].
Теорема 2 доказана полностью.
§ 2. Смешанная задача для системы (1.1) в полубесконечном цилиндре.
Рассмотрим систему (1.1) при нечётных р в полубесконечном цилиндре И7 = 21 X (- 00 ^ X ■*£ О ) } где ХГ 0 -кусок
плоскости Х = 0 с границей Р . Обозначим через 21 ^ боковую поверхность цилиндра
Поставим задачу: найти регулярное в№/ решение системы (1.1), удовлетворяющее следующим начальным и краевым условиям: