Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и с нулевым оператором дифференциальной части

• Автор: Бободжанова, Машхура Абдухафизовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ
§1.1. Регуляризация задачи (1.1). Построение асимптотического решения (31) §1.2. Предельный переход в задаче (1.1) (39) §1.3. Случай чисто мнимых собственных значений (45) §1.4. Примеры (48)
ГЛАВА 2. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ
§2.1. Регуляризация задачи (2.1). Разрешимость итерационных задач
(55) §2.2. Обоснование асимптотической сходимости формального решения к точному (63) §2.3. Предельный переход в задаче (2.1) (66) §2.4. Примеры (69) Пример 2.1 (69) Пример 2.2 (72) Пример 2.3 (73)
ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ
§3.1. Регуляризированная асимптотика решения задачи (3.1) в случае д(£) ф 0(83) §3.2. Предельный переход в задаче (3.1) при д(£) ф 0 (94) §3.3. Регуляризированная асимптотика решения задачи (3.1) в случае д(£) = 0 (98) §3.4. Предельный переход в задаче (3.1) при д(£) = 0 (106) §3.5. Пример (111)

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ
§4.1. Регуляризация задачи (4.1). Разрешимость итерационных задач (118) §4.2. Обоснование асимптотической сходимости формального решения к точному (127) §4.3. Предельный переход в задаче (4.2) (131) §4.4. Пример (132)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Теория сингулярных возмущений, основные идеи которой были сформулированы в работах Шлезингера [132], Биркгофа [12], Лангера [58], Лиувилля [60], Тамаркина Я.Д. [113], Тихонова А.Н. [111,112], Трджинского [115,116], Территина Х.Л. [114], Пугачева B.C. [87], получила свое дальнейшее развитие в конце пятидесятых - начале шестидесятых годов прошлого столетия в многочисленных трудах как зарубежных, так и отечественных математиков. Были созданы различные методы асимптотического интегрирования, сконцентрировавшие вокруг себя школы различных направлений. Самыми заметными из них стали школы Вишика-Люстерника [20-21], Боголюбова-Крылова-Митропольского [3,24-27,77-79,122,123], Понтрягина-Розова-Мищенко [80-82,88-91], Васильевой-Бутузова-Нефедова [10,11,15-19,83,94,95], Маслова-Федорюка [73-75,124,125], Ильина [45-47], Ломова [62-71,4-6,9,30-32,52,53,85,86„96,97,100,101,103-110,135], Нестерова [83], Коняева [52]. Современные зарубежные исследования представлены трудами Вазова [13-14], Ван-Дайка [23], Джакалья [35], Коула [50], Уизема [119], Чанга и Хауэса [133] и др. Заметим, что теория сингулярных возмущений тесно связана с теорией устойчивости решений дифференциальных уравнений (см., например, работы [112,16], где используются критерии устойчивости присоединенной системы). Здесь уместно отметить работы М.М. Хапаева [128-131], в которых получены эффективные критерии устойчивости, развивающие и дополняющие известные результаты А.М. Ляпунова [72]. В основе каждого из перечисленных выше методов лежит своя идея построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач. Например, в методе Васильевой-Бутузова-Нефедова лежит идея аппроксимации решения в приграничной зоне функциями пограничного слоя; при этом оценка остаточного члена призводится либо сведением исходной задачи к эквивалентному интегральному уравнению и применением к нему метода последовательных приближений, либо построением барьерных функций и оценке норм соответствующих верхних и нижних решений. Настоящая работа примыкает к методу

Произведем расширение этого оператора на рядах вида

2 єкиик(і,т) (1.14)

с коэффициентами Wk.it, т) € II, к > 0.
Определение 1.1. Формальным расширением У оператора
7гу(Чт,гг) е” У"] т). (1-15)
и=— 1 5=-1,г/—5>0
Теперь легко выписать регуляризованную (по отношению к (1.3)) задачу: Е~ + 1{г)~ + 2{г)-А(Ь)т-Ш = Я(<),г&(0,0,0) = (г/°, е_1/г(0)}.
01 ОТ1 С/То
(1.16)
Подставляя ряд (1.13) в (1.15) и произведя приравнивание коэффицентов при одинаковых степенях е, получим следующие итерационные задачи:
дш Зъи
Т0ш_1 ф,т) = Афф- + А2(0-— ~ А(фш_} - Яо-1 = 0, ату ат2
гс-фО, 0, 0) — (0;/ф0)} (1.16-1);
Т0гуо(£, т) =
Т0шффт) = —~ + Яіш0 + -Й2го_і, гофО, 0, 0) = 0, (1-Ібф

LoWk.it,т) — Дрщ--1 + Я2Ш*_2 + + К-к+1ги-1,
лд(0,0,0) = 0, к> 1. (1.16*)
Каждая из итерационных систем (1.16_1), (1.16*) имеет вид системы