Отслеживание псевдотраекторий в гладких потоках

• Автор: Тихомиров, Сергей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 111 с.

Содержание
1 Введение
2 Ориентированное свойство отслеживания
2.1 Гиперболичность замкнутых траекторий и точек покоя
2.2 Схе'ма доказательства теоремы
2.3 Вспомогательные леммы
2.4 Конструкции псевдотраекторий
2.5 Доказательство теоремы
3 Липшицево свойство отслеживания
3.1 Двумерный и одномерный потоки
3.2 Доказательство основной леммы
4 Орбитальное свойство отслеживания
4.1 Лемма об отслеживании псевдотраекторий специального вида
4.2 Завершение доказательства теоремы
5 Приложение А
1 Введение
Задача об отслеживании псевдотраекторий в самом общем виде
связана со следующим вопросом: при каких условиях для любой
псевдотрасктории динамической системы можно найти близкую к
ней траекторию? Изучение данной задачи было начато Д. В. Ано-»
совым [1] и Р. Боуэном [7]. Современное состояние теории отслеживания в значительной степени отражено в монографиях [14, 15].
В данной диссертации изучается связь между свойством отслеживания для потоков и структурной устойчивостью. Отметим, что основное отличие задачи об отслеживании для потоков от аналогичной задачи для дискретных динамических систем, порождаемых диффеоморфизмами, состоит в необходимости репараметризации отслеживающих траекторий. Основным вопросом для нас будет вопрос о структуре множества векторных нолей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Мы будем рассматривать не само множество векторных полей, обладающих тем или иным свойством отслеживания, а его С1-впуггренность, т.е. множество таких векторных полей, которые сами обладают свойством отслеживания и любое их малое (в С1-метрике) возмущение также обладает свойством отслеживания.
Пусть М - гладкое п-мерное замкнутое многообразие класса С°° с римановой метрикой сИэП Обозначим через Т{М) пространство гладких векторных полей па М с топологией, порож-
денной (Д-метрикой. Для векторного ПОЛЯ X Є Т(М) и точки х Е М будем обозначать через ф(і, х) такую траекторию поля X, что ф{0, х) = х. Пусть
0(ж, ф) = {(£, х) :t Е R},
0+(ж, = {ф{ф, х) : t > 0}, 0~(х, <) = х) : t < 0}.
Прежде чем определять свойства отслеживания, введем ряд обозначений. Будем обозначать через В (а, аг), где а > 0 и х - точка некоторого метрического пространства, шар радиуса а с центром в точке х. Если А - некоторое подмножество метрического пространства, то будем обозначать через В (а, А) объединение всех шаров радиуса а с центрами в точках множества А. Через С1А будем обозначать замыкание множества А.
Для любого множества А С Т(М) будем через Int1(4) обозначать внутренность множества А в топологии, порожденной (Д-метрикой. Для векторного поля X обозначим через Рег(Д) множество точек покоя и замкнутых траекторий поля X. Для гиперболической траектории р Е Рег(Х) будем обозначать через Ws(p) и Wu(p) ее устойчивое и неустойчивое многообразие, соответственно.
Перейдем к определению свойств отслеживания для потоков. Определение 1. Рассмотрим произвольное d > 0. Отображение g(t) : R -¥ М будем называть d-псевдотраекторией векторного поля X и потока ф, если для любых іо Є R и t Є [—1,1] выполнено

уравнение вида
d х „
— — Рх dt
где Р Є /Cj".
Поскольку Р Е IC, в некоторой системе координат матрица Р представима в виде
где Ле Xj < 0 для собственных чисел Xj матрицы С} и Не > 0 для собственных чисел матрицы Я.
Пусть х = (у, г) - разбиение координаты х, соответствующее представлению (2.20). Обозначим Ея = {г = 0} и Еи = {у — 0}. Тогда выполнены включения
Пусть Ри : U —» Еи - проекция на Еи параллельно Es.
Разобьем случай В2 на два подслучая:
В2.1: dim Еи > 2,
В2.2: dim Еи = 1.
Случай В2.2 более прост и будет разобран в следующей лемме, доказанной позднее в данной главе.
Лемма 6. Пусть р - гиперболическая точка покоя векторного поля X Е Int1(OrientSh), 72 Е Рег(Х), и при этом dim Wu(jp) — 1. Пусть го € “(72) П W*(p). Тогда Го - точка трансверсалъного пересечения Wu(72) и Ws{p).
(2.20)
EUCU CWU(0), Es HU CWS(0).