Структура множества управляемости и позиционное управление линейной нестационарной системой

• Автор: Милич, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Докритичность и (-приводимость
§ 1. Основные обозначения
§2. Функция сг(-) и ее свойства
§ 3. (-приводимые системы
§ 4. Оценка функции <т(-) для (-приводимых систем
§5. Применение предложенных алгоритмов
Глава 2. Структура множества управляемости и позиционное управление
§ 6. Множество управляемости
§ 7. Угол между многообразиями, составляющими границу множества управляемости
§ 8. Условия трансверсальности
§ 9. Свойства функции быстродействия и позиционное управление
Глава 3. Множества управляемости высших порядков
§ 10. Расширенное множество управляемости второго порядка
§ 11. Простые нули функций £(£, с) вне промежутка чебышевскости
§ 12. Граница множества управляемости
Литература

Введение
Для управляемой системы
ж = г>(4,ж,«), х е М.", и £ и С К.™, (0.1)
и заданной начальной точки (4о,жо) £ К1+" обозначим и(4;4о,жо) оптимальное в смысле быстродействия программное управление, переводящее точку (40,Жо) на прямую I = {(4,0) : 4 £ К). Пусть далее, ж(4;40,ж0) ~ решение системы (0.1) при управлении и = «(4; Ц. жо) (поскольку управление «(4; 4оо) не предполагается непрерывным, решения соответствующей системы понимаются в смысле Каратеодори), 0(4о,жо) ~ время быстродействия: х(Ц + 0(4О, жо); 4о, ®о) = 0.
Позиционным управлением, оптимальным в смысле быстродействия, будем называть функцию«: 25 —» 47 переменных (4,х) £ Э, определенную в некотором цилиндре 25 = К х {ж 6 Мп : |ж| < г}, принимающую значения в и и такую, что выполнены следующие два условия:
1) всякое решение ж(4;4о,жо) замкнутой системы
х = «(4, ж, «(4, ж)), (4,ж)£25, (0.2)
с начальной точкой (4о,жо) £ 25 определено при всех 4 4о, не покидает шар {ж Е1": |ж| < г} и обращается в нуль за конечное время (найдется $(40,жо) > 0, что ж(40 + (4о,ж0);4о,ж0) = 0);
2) программное управление «(4; 4о,жц) = «(4, ж(4; 4о,жо)) оптимально в смысле быстродействия для системы (0.1) (если 4 = 4о + 19(4о,жо) — первый момент обращения в нуль решения ж(4;4о,жо) системы (0.2), то 1?(40,ж0) = 0(4о,жо)).
Это определение позиционного управления не является строгим до тех пор, пока мы не укажем, в каком смысле следует понимать решения системы (0.2) (функция «(4, ж), как правило, разрывна не только по переменной 4, но и по переменной ж, поэтому определение решений системы (0.2) нуждается в уточнении). Мы будем понимать решения системы (0.2), как это сложилось исторически, в двух разных смыслах: в смысле К. Каратеодори [1, с. 7] или в смысле А.Ф. Филиппова [1, с. 40] и подчеркивать это обстоятельство записью «е(4, ж) (в случае решений Каратеодори) или записью гщ-(4, ж) (в случае решений Филиппова).
Напомним, что всякое абсолютно непрерывное решение системы интегральных уравнений
ж(4)=Жо+ / у(8,х(з),ие(з,х(8)))(18,

называется решением Каратеодори (С-решением) системы (0.2) при управлении и(Ъ, х) = ие(1,ж), а всякое абсолютно непрерывное решение дифференциального включения
**Г П сопу ш(Ог(£, х) ц),
е>0 тевц
где ии(Ь,х) = г>(£,х,«у(£,х)), Ое(£,х) — е-окрестность точки (£,х), тевц — мера Лебега в М|+п, называется решением Филиппова (-решением) системы (0.2) (при управлении и(Ь, х) = «у(£, ж)). В соответствии со сказанным будем говорить о С-позиционном ие(Ь,х) оптимальном в смысле быстродействия управлении, либо об Оппозиционном Щг(£, х) оптимальном в смысле быстродействия управлении.
Из этих определений следует, что -позиционное управление нечувствительно к изменениям ?2д(£,х) на множествах нулевой меры Лебега в К.1+п (поэтому «ц(£, х) достаточно задавать на множестве положительной меры). Недостатком С-позиционного управления является внутренняя неустойчивость замкнутой системы (изменение ие,х) на множестве меры нуль может привести к «разрушению» управляемой системы: может исчезнуть не только оптимальность в смысле быстродействия решений замкнутой системы, но и обращаемость в нуль за конечное время большинства как С, так и -решений замкнутой системы). Ясно поэтому, что с точки зрения практики наибольший интерес представляют задачи, допускающие -позиционное управление. Оказывается при этом, что наличие 7-позиционного управления всегда влечет существование и 6-позиционного управления (достаточно «правильно» переопределить [-позиционное управление на множестве меры нуль). Обратное утверждение неверно.
Рассмотрим два простых примера.
1. Система
XI = х2, х2 — и, |м| 1, допускает оптимальное С-позиционное управление
ие(х 1,Х2) = <
' 1, если 2X1 (®2)2, х2 < 0,
1, если 2X1 < -(яг)2, х2 > 0,
0, если XI = 0,х2 = 0
-1, если 2X1 > Ы)2, Ж2 < 0,
1 -1, если сч ~ еч 1 д н сч х2 > 0,

/. Л /. * /. Л /. *
0 <Ы*)

V 7 v 7 V ) V 0
|«и(0
/. Л /. Л /. Л
0 0 * 0 0 0 о
0 7 о V v °
Рис. 4.1. Применение алгоритма Гаусса для п — 4.
Тогда
F(t) = Q~t)A(t)Q(t) - Q~l(t)Q(t)
= SVt) - Sï'MStf), (4.10)
где V(t) = S(t)A(t)S2(t) - Sïl(t)S2(t). Непосредственной проверкой можно убедиться, что V(t) имеет вид
/ «11 «12 - «1,5-2 «1,5-1 Vl,s Vl,n-1 «l,n
-А V22 «2,5-2 «2,s-l 2,5 V2,n-1 «2,n
0 ~Рз «3,5-2 «3,5-1 3,5 3,n—1 «3,n
0 0 . ~Ps-1 «S —1,3 — 1 Vs—1,8 5— 1,TÏ— 1 5 — 1
0 0 . 0 -A "5,5 s,n—1 s,n
0 0 . 0 “5+1,5 —1 5+1,5 5+1 ,П— 1 s+l,n
1 0 0 . 0 П,5—1 П,5 n,n—1 n,n )
Следовательно, преобразование £,)(£) и матрица С(£) будут определены на интервале J только в том случае, если функция щ)5_1(£) = —/?«(£) не обращается в нуль на J.
В последнем из преобразований (Зп,п-1(£)’ входящих в равенство (4.8), функция /3„_(Ь) оказывается в знаменателе. Поэтому из существования преобразования <5(£) следует неравенство /3„_х(£) ф 0. А функция 0п(Ь) никогда не оказывается в знаменателе в процессе применения преобразования (3(1). Поэтому для того, чтобы система (1.1) была (-приводима, необходимо дополнительно потребовать выполнения неравенства РП(Ь) ф 0. Таким образом, с учетом утверждения 3.1 доказано следующее.