Распространение вычетного метода на смешанные задачи, содержащие в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении

• Автор: Вагабзаде, Гюльзар Бахтияр кызы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 92 c. : ил

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, СОДЕРЖАЩАЯ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ БОЛЕЕ ВЫСОКИЕ СТЕПЕНИ СПЕКТРАЛЬНОГО

ПАРАМЕТРА, ЧЕМ В УРАВНЕНИИ

§ I. Асимптотическое представление характеристического определителя и его нулей

§ 2. Асимптотическое представление функции Грина

§ 3. Основные формулы разложения

Глава II. ВЫЧЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩЕЙ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ, -ЧЕМ В УРАВНЕНИИ

§ 4. Постановка смешанной задачи и соответствующая ей спектральная задача

§ 5. Приведение к смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени и

соответствующая спектральная задача

§ 6. Получение вычетного представления решения рассматриваемой смешанной задачи

§ 7. Пример смешанной задачи, содержащей в граничных условиях производные более высоких порядков, чем в уравнении

Хорошо известны такие классические методы решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как метод Фурье, применяемые к задачам, решения которых допускают разложения в ряды Фурье по полным ортогональным системам собственных функций соответствующих спектральных задач, более общий метод Фурье-Биркгофа, когда соответствующая спектральная задача и задача ей сопряженная имеют полные системы биортогональ-ных функций, метод теории потенциала, применяемые к граничным задачам для эллиптических уравнений, метод теории теплового потенциала, применяемые к смешанным задачам для уравнений параболического типа. Преимущество этих методов над другими прежде всего заключается в том, что помимо того, что они применяются к доказательству существования решения рассматриваемой задачи, они позволяют получить аналитические представления решений изучаемых ими задач. Как известно, эти аналитические представления позволяют изучать корректность задач, строить приближенные решения, провести численный расчет и т.д.
В связи с многочисленными задачами, встречающимися в приложении и неохватываемыми классическими методами в работах [ 1-6 ] был разработан вычетный метод решения широких классов смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, который в общих словах заключается в следующем:
Сначала рассматриваемой смешанной задаче сопоставляются более простые задачи, первая из которых есть спектральная задача (граничная задача с комплексным параметром), вторая задача Коши с комплексным параметром для обыкновенного дифференциального уравнения по временному переменному. Далее для соответствующей спектральной задачи доказывается теорема разложения функ-

ций действительного аргумента в ряд по вычетам решения спектральной задачи. Наконец, с помощью данной формулы разложения доказывается, что если рассматриваемая смешанная задача имеет решение, то оно представляется в виде полного вычета вполне определенной мероморфной функции, связанной с решениями спектральной задачи и задачи Коши с комплексным параметром для обыкновенного дифференциального уравнения по временному переменному.
Такая схема вычетного метода сначала в работах [ 1-4 ] была обоснована для решения смешанных задач, не содержащих в граничных условиях производных по времени старших порядков '
Далее в связи с многочисленными задачами, встречающимися в приложении (см.например, [ 8-9 ]) оказалось необходимым обоснование вышеописанной схемы-вычетного метода для смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени старших порядков, что сделано в работах [ 5-6 ].
Оставалось открытым обоснование вышеописанной схемы вычетного метода для смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени более высоких порядков, чем в уравнении, чему и посвящена настоящая диссертация. Исследование этих задач требовало особого подхода к их изучению. Прежде всего пришлось накладывать на решение изучаемой смешанной задачи (4.I)—(4.3) более жесткие требования гладкости в связи с тем, что рассматриваемую смешанную задачу необходимо было привести к эквивалентной, в некотором смысле, смешанной задаче,, содержащей в граничных условиях производные по времени только младших порядков. Для этой цели в граничных условиях все произИзвестно, что если граничные условия рассматриваемой смешанной задачи содержат производные по времени, то соответствующая спектральная задача, как правило, оказывается несамосопряженной.

Для получения вычетного представления решения задачи
(4.1)—(4.3) прежде всего ее необходимо привести к задаче, не содержался в граничных условиях производных по времени. В связи с этим следует прежде всего отметить, что под •решением зада-чи (4.1)-(4.3) будем понимать функцию » имеющую в
замкнутой области непрерывные производные по х
пятого порядка, непрерывные производные по / до 3-го порядка и удовлетворяющую условиям (4.2) при е[.'о,Т] и
начальным условиям (4.3) при
§ 5. Приведение к смешанной задаче, не содержащей в граничных условиях производных по времени и соответствующая спектральная задача.
Под решением смешанной задачи (4.1)-(4.3), как это сказа-