Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике

• Автор: Черевко, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 164 с. : ил.

1 Оптимальная система подалгебр
1.1 Введение
1.2 Постановка задачи
1.3 Алгоритм построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли
2 Программы аналитических вычислений
2.1 Построение канонических систем для инвариантных подмоделей газовой динамики
2.2 Вычисление нормализаторов подалгебр алгебры Ли
3 Инвариантные подмодели вихря Овсянникова (ВО)
* 3.1 Модель вихря Овсянникова
3.1.1 Уравнения газовой динамики в сферических координатах
3.1.2 Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение
3.1.3 Полученные результаты
3.1.4 Исследование радиального движения для инвариантных подмоделей ВО
3.2 Однородный вихрь Овсянникова (ОБО)
3.2.1 Уравнения ОВО в лагранжевых координатах
• 3.2.2 Интегрирование уравнения Шварца для частных
значений
3.2.3 Анализ изотермических движений газа
(7 = 1)
3.3 Стационарный вихрь Овсянникова (СВО)
3.3.1 Неявные дифференциальные уравнения
3.3.2 Свойства решения ключевого уравнения для СВО
(7 = 3)
3.3.3 Поведение интегральных кривых на бесконечности
3.3.4 Описание течения газа в стационарном ВО
3.3.5 Ударная волна в стационарном вихре Овсянникова

4 ПРИЛОЖЕНИЯ
4.1 Оптимальная система подалгебр алгебры Ли
4.2 Программа построения канонических систем
4.2.1 Основная программа
4.2.2 Шаблон для создания - файла
4.3 Программа вычисления нормализаторов подалгебр алгебры Ли
4.3.1 operatory.ni
4.3.2 kommutatory.ni
4.3.3 Основная программа
Используемые обозначения
Нумерация формул, таблиц и рисунков независима внутри каждой главы. Ссылка (2.10) означает формулу с номером 10 из раздела 2 текущей главы.
Свойство симметрии играет важную роль при изучении дифференциальных уравнений. Адекватным математическим оформлением концепции симметрии является групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, лежащий на стыке алгебры и дифференциальных уравнений, изучающий алгебраическую структуру на множестве решений.
Сегодня групповой анализ дифференциальных уравнений является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку математические модели рассматриваемые в этих науках по своему построению инвариантны относительно некоторой группы симметрии.
Использование свойств симметрии дифференциальных уравнений для получения точных решений является предметом исследований многих российских и зарубежных авторов. Большое число точных решений уравнений газовой динамики приведено в классических монографиях [1], [2]. Основы группового анализа изложены в [3]. Различным его приложениям, поиску и исследованию точных решений на основе понятия симметрии посвящены работы Н.Х.Ибрагимова, В.В.Пухначева,
С.В.Хабирова, П.Олвера и других авторов.
В предложенной академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательской программе ПОДМОДЕЛИ [4] описан наиболее общий тео-

ретико-групповой подход к изучению дифференциальных уравнений с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии. В лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН программа ПОДМОДЕЛИ применяется к уравнениям газовой динамики. Результаты настоящей диссертации способствуют выполнению этой программы.
Работа посвящена классификации, построению, исследованию и физической трактовке новых точных решений дифференциальных уравнений, возникающих в газовой динамике.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты.
• В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.
• Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.
• Получены и изучены новые точные решения дифференциальных уравнений газовой динамики. Эти решения порождаются стационарной и однородной подмоделями вихря Овсянникова.
— Для однородной подмодели получены следующие основные результаты.
1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неоднородного уравнения Шварца.
2. Для частных значений показателя адиабаты, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения в терминах уравнений меньшего порядка.
3. Описано изотермическое движение газа. Показано, что возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий с особенностью плотности.
— Для стационарной подмодели получены следующие основные результаты.
1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.
2, Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.
Запишем ключевое уравнение (2.29), описывающее изотермическое движение газа, в виде
X'2 = /(X) , (2.43)

/(Х) = Х3Ф(Х), Ф(Х) =/30ЬХ2-4Х + С. (2.44)
График функции /(X) имеет следующий вид:
Рис. 2.1: График функции /(X) ( /Зо = 2,8; С = 3, 8 )
Имеется “шапочка” графика, порожденная корнями Х и Х2 уравнения Ф(Х) = 0. В общем случае она имеет место, если выполнены следующие условия:
а) существуют X,, Х2 такие, что /(ХД = /(Х2) = 0;
б) /'(ХД > 0, /'(Х2) <0;
в) функция /(X) имеет максимум в точке X* 6 (Х^Хг), т. е.
г(х*) = о, /"(X*) < о.
Эти условия обеспечиваются, в свою очередь, достаточными условиями существования “шапочки” [22]. А именно, если функция / зависит еще и от параметра А : / = /(X, А) (в нашем случае это может быть как С, так и /Зо), и существует точка М(Хо,Ао), в которой 1) /(М) = 0, /х(М) = 0, 2) Л(М) > 0, /хх{М) < 0, то “шапочка” существует для А > Ао, где А достаточно близко к Ао. Наличие “шапочки” графика гарантирует существование периодического решения уравнения (2.43) [29].
Докажем, что условия 1), 2) выполнены для функции / вида (2.44). Из 1) имеем
Хо = /?о/2 , Со = 2/?о(1 + 1п2 — 1п/30) (2-45)
Далее, используя (2.45), получим
Гс(М) = XI = /?о/8 , /хх(М) = -2(3,/XI = -8/А, . (2.46)
Лемма 5. Достаточные условия существования “шапочки” для
функции (2.44) выполнены, если
До > 0 и С0 = 2Д0(1 + 1п2/А>) ■ (2.47)