Симметрийный подход к классификации с точки зрения интегрируемых дифференциально-разностных уравнений : Теория преобразований

• Автор: Ямилов, Равиль Исламович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 202 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений
в дискретно-дифференциальном случае
§ 1. Принципы симметрийного подхода
1.1 Высшие симметрии
1.2 Локальные законы сохранения
§ 2. Условия интегрируемости. Полные списки
интегрируемых цепочек
2.1 Уравнение Вольтерра и его обобщения
2.2 Дискретные аналоги нелинейного уравнения
Шредингера и.модели Ландау-Лифшица
2.3 Предельный переход
2.4 Класс цепочки Тоды
2.5 Классификационная теорема
Глава 2. Классификация интегрируемых систем уравнений в частных производных.
Системы типа Шредингера
§ 3. Условия интегрируемости
3.1 Общая схема
3.2 Класс Шредингера
§ 4. Описание симметрических систем
4.1 Теория преобразований
4.2 Классификационная теорема
Глава 3. Цепочечные представления интегрируемых
систем уравнений в частных производных
§ 5. Ассоциированные системы
5.1 Постановка задачи
5.2 Общая теория и примеры
5.2.1 Простейшие невырожденные цепочки
5.2.2 Условие регулярности
5.2.3 Примеры кэазирегулярных цепочек
5.2.4 Многокомпонентный случай
§ 6. Редукции ассоциированных систем
Глава 4. Специальные преобразования Беклунда,

порожденные сдвигами в интегрируемых
цепочках
§ 7. Регулярные цепочки и обратимые
дифференциальные подстановки
7.1 Общая теория. Симметрии
и законы сохранения
7.2 Йордановы обобщения цепочки Тоды
7.3 Симплектическая структура и точные
решения
§ 8. Квазирегулярный случай: явные
авто преобразования интегрируемых цепочек
8.1 Автопреобразования
8.2 Солитоны
8.3 Примеры
Глава 5. Преобразования Миурьт
§ 9. Обратимые замены переменных,
порожденные преобразованиями Беклунда
9.1 Неявные преобразования Беклунда
и совместные тройки
9.2 Примеры
9.3 ”Наполовину” явные
преобразования Беклунда
§ 10. Построение преобразований Миурьт в случае эволюционных уравнений
в частных производных
§11. Схема построения преобразований Миуры для
дифференциально-разностных уравнений
11.1 Основная теорема
11.2 Дифференциально-разностный аналог
уравнения Калоджеро-Дегасиериса
11.2.1 Пример уравнения Вольгерра
11.2.2 Локальные законы сохранения
11.2.3 Высшие симметрии
11.2.4 Многосолитонные решения и
представление нулевой кривизны
11.3 Другие примеры
11.3.1 Пример цепочки Тоды
11.3.2 Законы сохранения нулевого порядка.
Системы типа Шредингера

§ 12. Локальные мастер-симметрии интегрируемых
цепочек
12.1 Введение
12.2 Мастер-симме'грии цепочек Вольтерра.
и Тоды
12.3 Другие примеры локальных
мастер-симметрий
12.4 Точные решения
Глава 6. Интегрируемые 1+2 мерные уравнения
§ 13. Новые примеры интегрируемых уравнений, явные автопреобразования Бсклунда
и преобразования Миуры
13.1 Введение
13.2 Дискретные преобразования в двумерном случае
13.3 Набросок классификации интегрируемых систем, аналогичных уравнению Деви-Стюартсона
13.4 Заключение
§ 14. Неявные автопреобразования Беклунда
и модифицированные уравнения
14.1 Семейство уравнений Деви-Стюартсона
14.2 Другие примеры
§ 15. Обобщение симметрийного подхода
на случай 1+2 мерных уравнений
15.1 Квазилокальные функции и условия интегрируемости
15.2 Аналог формальной вариационной производной
Литература

2.4 Класс цепочки Тоды
Перейдем к обсуждению класса цепочек вида
«« = ЩЫ-х), /«,/«_! Ф О,
(42)
который содержит знаменитую модель Тоды
ии = ЄХр(Ді — м) — ехр(г/, — м_і)
(43)
[23, 60, 61, 101]. Общая теория, изложенная в § 1, применима и в этом случае, однако имеются интересные особенности.
Введем векторы и — (гг, ь)т, Т1 = (и, /)т, где V — гг*. Тогда уравнение (42) может быть записано в виде (17), причем оператор (18) имеет такую структуру:
Симметрия порядка п > 1 порждает решение уравнения (20) с длинной и порядком п. а по локальному закону сохранения порядка п > 2 строится решение уравнения (25) с порядком п и длиной п — 1.
Как и прежде, наша цель - получить условия интегрируемости наболее простым с технической точки зрения путем, т.е. вычисляя коэффициенты рядов Ь первого и 5 нулевого порядков из (20), (25). Цепочка Тоды (43) для любого порядка п > 1 имеет две симметрии, причем одно из соответствующих им приближенных решений уравнения (20) имеет вырожденное начало, а другое - невырожденное. То же самое относится к занонам сохранения и соответствующим приближенным решениям уравнения (25). Для цепочек с аналогичными свойствами мы без труда построим нужные нам ряды Ь, 5.
Введем операторы (ср. (20), (25))
действующие на множестве формальных рядов вида (21). Следующие тождества
М(Ь) = и + №
#(5) = 5, + 5С. + С»Г5,
= -1-1М(£)1'1, М(ЬА) = М(1)А + 1М(Л), N(31) = + ЗМ{1).
М(5~1В) = БЩВ) - Б*1 N(S)S~Ï В
(44)
(45)
(46)
(47)
позволяют следить за длинами решений, когда мы делаем операции над приближенными решениями уравнений (20), (25). Предположим, что Ь и