Нормальные формы связанных отображений хеноновского типа

• Автор: Егоров, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 119 с.

Оглавление
Введение

1 Вспомогательные средства

§ 1. Основные определения и понятия

§2. Отображение’’подкова”

§3. Отображение Хенона

3.1. Локальный анализ

3.2. Фазовое пространство

2 Взаимно однозначные квадратичные эндомофизмы плоскости и отображения хеноновского типа

§1. Предварительные замечания

§ 2. Условия, определяющие коэффициенты отображений из Н

2.1. Главные необходимые условия
2.2. Достаточные условия
2.3. Отображения, принадлежащие множеству Н . .
2.4. Множества Нх и Н
§ 3. Нормальные формы
3.1. Нормальные формы отображений из Нх и их динамика
3.2. Отображение Хенона как нормальная форма
отображений из Нг
3.3. Формулы перехода
§ 4. Динамика отображений из класса Нх
§ 5. Отображение Хенона

5.1. Результаты локального анализа
5.2. Структура подковы в отображении Хенона . .
3 Пара связанных отображений Хенона в симметричном случае
§ 1. Основные понятия
1.1. Необходимые определения
1.2. Замена координат
1.3. Фазовое пространство
§ 2. Локальный анализ отображения Н
2.1. Неподвижные точки отображения Н
2.2. Характер устойчивости неподвижных точек . .
2.3. Двупериодические орбиты
2.4. Характеристика первых бифуркаций
§ 3. О синхронизации нормальной формы
Литература
Введение
Диссертация посвящена исследованию дискретных динамических систем. Ее условно можно разделить на две части: первая часть посвящена двумерным отображениям, вторая — системам связанных осцилляторов.
Двумерные эндоморфизмы, которые задаются линейными функциями и тем самым являются линейными операторами, подробно изучены. Следующий естественный шаг заключается в том, чтобы изучить квадратичные отображения плоскости, то есть отображения, координатные функции которых содержат в качестве слагаемых переменные не выше второй степени. Несмотря на то, что двумерные квадратичные отображения исследуются достаточно интенсивно, среди них существуют такие, полная динамика которых еще не понята. Например, двупараметрическое семейство диффеоморфизмов, называемое отображением Хенона:
хх = 1+ у - ах2 , У = (Зу , а^О, Д^О. (0.0.1)
В работах М. Хенона [31], Р.Л.Деваню и З.Нитецки [13, 14] показано, что при каждом фиксированном (3 (0 < | Д | < 1) динамика указанного семейства усложняется с ростом параметра а. Характерным значением Д, для которого можно проследить за изменением динамики отображения (0.0.1) при возрастании а, является Д = 0.3.
При малых а (например, а — 0.01) отображение Хенона имеет простую динамику: неблуждающее множество состоит из двух неподвижных точек, одна из которых седловая, а другая притягивающая.

множества Н и рассматривается их динамика. В разделе 3.2 дается определение хеноновского семейства и показывается, что множество П2 состоит из отображений хеноновского типа.
На основе полученных нормальных форм исследуется динамика отображений, принадлежащих множеству 'Н. Этому посвящен четвертый параграф.
В пятом параграфе приводится теорема о существовании подковы для отображения Хенона (обобщение аналогичной теоремы из работы [44]).
§1. Предварительные замечания
Рассмотрим множество К квадратичных двумерных отображений вида
^ х — а20х2 + апху + а02у2 + а10х + а01У + а00 , (2 11)
2/1 = Ых2 + Ьпху + Ь02у2 + Ьюх + Ьо1у + Ь00,
где коэффициенты агу,^(г,^' = 0,1,2) произвольные действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов ац,Ъц (г +1 = 2) отличен от нуля.
Из всех эндоморфизмов вида 2.1.1 в диссертации рассматривается множество глобально взаимно однозначных (инъективных) отображений. Классическим примером отображения указанного вида является отображение Хенона, которое описывалось в первой главе.
Множество квадратичных глобально инъективных отображений плоскости на себя будем обозначать И.
Поскольку 71 ф /С, то коэффициенты отображений из И должны удовлетворять некоторым условиям. Эти условия будем искать при помощи эквивалентных отображений.