Аналитические исследования формальной интегрируемости систем дифференциальных уравнений

• Автор: Тычков, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Сведения из геометрии дифференциальных уравнений

1.1. Пространства джетов

1.2. Формальная интегрируемость и совместность систем дифференциальных уравнений

1.3. Распределение Картана

1.4. Характеристические многообразия

Глава 2. KJIM-скобка и KJI-мультискобка

2.1. Определение КЛМ-скобки

2.2. Определение KJl-мультискобки

Глава 3. Приложения скобок

3.1. Задача из термодинамики
3.2. Интегрирование уравнения ассоциативности
3.3. Задача о гармонических интегралах
3.4. Формальная интегрируемость и ткани максимального ранга
Глава 4. Реализация скобок
4.1. Вспомогательные процедуры
4.2. Реализация КЛМ-скобки
4.3. Реализация КЛ-мультискобки
Литература
Приложение А. Полный текст модуля Brackets на языке Maple

Приложение Б. Вычисления условий максимальности ранга для тканей
Б.1. 3-ткани

Введение
Актуальность работы
Система дифференциальных уравнений в частных производных порядка к имеет вид:
£ : Vх' = °’ = (1)
где /(х) — (/х(х)
Система (1) формально разрешима в точке х е К", если в этой точке существует степенной ряд (необязательно сходящийся), удовлетворяющий системе.
Переопределенные системы дифференциальных уравнений возникают при решении многих задач математической физики, механики сплошных сред, теории управления, а также при вычислении дифференциальных инвариантов псевдогрупп Ли, вычислении симметрий дифференциальных уравнений и задач дифференциальной геометрии.
Задача нахождения условий формальной интегрируемости переопределенной системы дифференциальных уравнений является важным этапом исследования этой системы. Существует несколько методов нахождения таких условий. Кратко опишем некоторые из них.
Критерий Сгтенсера-Гольдшмидта [23, 41] формальной интегрируемости системы дифференциальных уравнений, сформулированный в виде теоремы (приведена по [1]):
Теорема. Пусть £ — система дифференциальных уравнений, удовлетворяющая следующим условиям:

Имеет место следующая теорема, установленная в [29].
Теорема 1. Если система £ формально интегрируема, то всевозможные КЛМ-скобки
обращаются в нуль в силу системы £.
Обратно, если все КЛМ-скобки равны нулю в силу системы £, а характеристический идеал
является полным пересечением, то система формально интегрируема.
Определение понятия полного пересечения можно найти в [6]. В нашей работе мы не касаемся систем дифференциальных уравнений, не находящихся в полном пересечении.
Доказательство теоремы 1 приведено в [29].
2.2. Определение КЛ-мультискобки
Рассмотрим переопределенную систему дифференциальных уравнений в частных производных порядка
где х = (x'i
Определим понятие линеаризации [31] дифференциального уравнения такого же вида, какие составляют систему (2.4).
(2.4)
Пусть
F(x, и0) = О
(2.5)