Нормальные формы версальных деформаций сложенных особых точек неявных дифференциальных уравнений

• Автор: Чинь Тхи Зиеп Линь
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 61 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Параметрическая теорема редукции.

1.1. Основные понятия и постановка задачи

1.2. Преднормальная форма в сложенной особой точке

1.3. Параметрическая теорема редукции

1.4. Схема применения теоремы редукции

2. Нормальные формы семейств бинарных уравнений

2.1. Нормальная форма Трикоми-Чибрарио для семейств

2.2. Нерезонансные сложенные особые точки

2.3. Модельные уравнения

Список литературы

Введение
Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной (или неявные дифференциальные уравнения) появляются при математическом описании явлений различной природы. Например, при анализе поведения характеристик линейного дифференциального уравнения второго порядка с частными производными на плоскости смешанного типа [6], [15], [31], при изучении поведения поля асимптотических направлений на гладкой поверхности в трёхмерном пространстве [7], [26] и в ряде других важных для приложений задач [16], [5], [28], [22].
Ясная формулировка задачи изучения неявных дифференциальных уравнений восходит к объявленному в 1885 году конкурсу Шведского короля Оскара II, где в одной из конкурсных задач требовалось описать кривые, доставляемые обыкновенными дифференциальными уравнениями [19], что включает не только изучение особенностей поведения фазовых кривых векторных полей, но и анализ особенностей решений, доставляемых неявными дифференциальными уравнения. Как выяснилось позднее, даже случай одного неявного дифференциального уравнения первого порядка оказался нетривиальным.
Один из необходимых этапов анализа поведения решений дифференциальных уравнений - это локальный анализ, что может быть сделано путем получения локальных нормальных форм дифференциальных уравнений или семейств их фазовых кривых с точностью до выбранной группы преобразований. Для типичных гладких векторных полей на плоскости теория локальных нормальных форм была завершена сравнительно недавно, когда были получены гладкие орбитальные нормальные формы для резонансных седел (см. [3]).

Для неявных уравнений первая локальная нормальная форма
(йу/йх)2 = х
была получена Ф. Трикоми для уравнения характеристик
а(х, у)(1у1 — 2 Ъ{х, у)<1х(1у + с(х, у)<1х2 — 0 (1)
дифференциального уравнения с частными производными на плоскости
п.(л, у^)и,хх 2Ь{^х^у^иХу с{х:у^)Иуу f (х, у, и, иХ1 Ну')) (2)
где а, Ь, с - гладкие функции и / - некоторая функция, вблизи типичной точки границы гиперболической области дифференциального уравнения второго порядка с частными производными на плоскости, где дискриминант главного символа уравнения равен нулю, его дифференциал отличен от нуля, а характеристическое направление не касается границы в этой точке. В трактате Трикоми вывод этой нормальной формы был неточен [31], и её правильное обоснование было дано чуть позже М. Чибрарио [20].
Последующие результаты в этой области были получены на рубеже веков - в последней четверти двадцатого века и в первое десятилетие этого века, когда активность математиков здесь резко возросла после работ Р. Тома [30] и Ф. Такенса [28]. Сначала Л. Дара и Ю. Бродский переоткрыли нормальную форму Трикоми-Чибрарио [21], [2], затем А. Г. Кузьмин нашел топологические нормальные формы вблизи невырожденных сложенных особых точек [14], [15] (другим путём эти формы были получены в [9]), а А. А. Давыдов нашел гладкие нормальные формы вблизи нерезонансных сложенных особых точек [9], [22] и совместно с Э. Росалесом-Гонсалесом вблизи резонансных [11], [24]; А. А. Давыдов также установил наличие топологических модулей вблизи типичных собранных особых точек [9], [22]. Позднее были получены нормальные формы и для некоторых

изучаемой точки скорость деформации представляется в виде

г>(С. V. е) = V, £)q£ + т(С, г?, е)—, (22)
где lam- гладкие функции. Разложим / в сумму четной и нечетной функций по т/,
/(С: V, £) = «(С. + WC> 7?2, £)
где гх и гн - гладкие функции. Поставляя это разложение для / и выражения (21) и (22) в члены правой части уравнения (19), получим:

iftv)(C,V,e) = [u{(,V2,£) + V((,V2,£)][nKt,V,£)Q£ + -(C,T},e)—], (23)
(7t7t)(C>?7,e) = /(C.-»7iC) =и{(,г]2,£) -rjw(C,r]2,£),

тj, е) = -(*7*(С> -»7,+ m(C, -»7. е)^),

(btft)lt*v)(C,V,^) = ~Н(,Г12,е) - rjw((,rj2,£)](ril(t,-ri,£)-^ +

+т(С,-т?,е)^). (24)
Подставляя теперь выражения (21) (23), (24) ( для V, /*г» и ('У*ft)7t*v, соответственно) в уравнение (19), получим
v 3р(С. *72.г)^+»725(С,»72.е)^ -= [“(С, v2, е)+»МС> *?2> е)]М(С> л, e)^+(C, v, £)-щ1+

+[ti(C, »72, е) - »МС. 72,е)](^(С. -*7>+ т(С, -ч»е)^) =
= NMC, V, e)+i(C. ~»7. e))+«V(KC. V, е)~*(С. ~Л, £))]^+ +[«(т(С, V, е)+т(С, -7, £))+нл7(т(е, е)-т(С. -??,е))]^>