Согласованность, достижимость и управление показателями Ляпунова

• Автор: Зайцев, Василий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Достижимость и ляпуновская приводимость
§ 1. Основные определения и вспомогательные утверждения
§ 2. Достижимые системы
§ 3. Ляпуновская приводимость
§4. Локальная управляемость показателей Ляпунова
Глава 2. Согласованные системы
§ 5. О согласованности и достижимости
§ 6. Критерии согласованности
§ 7. Согласованность стационарных систем
Глава 3. Глобальная управляемость показателей
§8. Управляемость показателей стационарных систем
§ 9. Линейное уравнение с наблюдателем
§10. О А-приводимости
§ 11. Управление показателями кусочно постоянных систем
Литература

Введение
Изучаемые в этой работе задачи можно рассматривать как естественное развитие основной тематики классической теории регулирования, состоящей в построении линейной обратной связи, стабилизирующей исходный объект. В классической постановке обычно изучаются стационарные объекты, поведение которых моделируется линейными дифференциальными уравнениями или системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и тем самым вопрос сводится к перемещению в заданное множество (например, в левую полуплоскость) корней характеристического многочлена матрицы системы.
В другой терминологии эти задачи можно интерпретировать как задачи управления показателями Ляпунова. Это позволяет расширить класс изучаемых объектов, включив в него нестационарные системы дифференциальных уравнений. Таким образом, появляется возможность привлечения активно развивающейся теории показателей Ляпунова и абстрактной теории динамических систем к изучению чисто управленческих задач.
Здесь получены утверждения, относящиеся к задачам управления (в локальной и глобальной постановке) показателями Ляпунова линейной управляемой системы с наблюдателем н задачам лянуновской приводимости билинейной управляемой системы дифференциальных уравнений. В частности, доказаны:
а) теорема о локальной ляпуновской приводимости билинейной управляемой системы и вытекающие из нее следствия о локальной управляемости показателей Ляпунова;
б) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова стационарной системы с наблюдателем;
в) теорема о А-приводимости линейной управляемой системы и вытекающие из нее следствия о глобальной управляемости центральных и особых показателей;
г) теорема о глобальной управляемости показателей Ляпунова двумерных кусочно постоянных систем.
Рассмотрим линейную управляемую систему
х — А(Ь)х + В(Ь)и, х £ М”, « £ К” (0.1)
с ограниченными и кусочно непрерывными на К матрицами А(-) и В(-). Систему (0.1) будем отождествлять с функцией I —¥ (А(<), £?(<)). Аргумент С когда это не вызывает недоразумений, будем опускать. Управление в системе (0.1) строится по принципу линейной обратной связи в виде и = и()х. Исследуется вопрос об управляемости (в локальной и глобальной постановке) показателей Ляпунова А {(А + Ви), г = 1
х = (А(£) + В(£)£/(1))а:. (0.2)
Определение 0.1. Система (Л, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, если для любого //, = (рг
АДА + Ви) j = l

Определение 0.2. Система (А, В) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова, если найдется 5 > 0 такое, что всякому р = (д1
го класса допустимых управлений), обеспечивающая равенства
АД А + Ви) = АДА) + щ, j = 1
х — Аф)х. (0.4)
Хорошо известен следующий факт: если матрицы А и В постоянны, т = 1 и det[5, АВ
Работа П. Бруновского [57] явилась одной из первых работ по теории управления асимптотическими характеристиками линейной нестационарной системы (0.2). В ней было доказано, что если система (0.1) равномерно вполне управляема, а функции А(-) и В(-) непрерывно дифференцируемы и периодичны с периодом Т > О, то (А, В) обладает свойством глобальной управляемости показателей Ляпунова, при этом для любого р € R" функция U(-,p), обеспечивающая равенства (0.3), также непрерывно дифференцируема и Т-периодична.
Задача управления показателями Ляпунова системы (0.1) без предположения периодичности представляет существенные трудности в связи с тем, что в общем случае система х = A(t)x может быть неприводимой (ляпуновским преобразованием х = L(t)y к системе у = Fy с постоянной матрицей F), оказывается далее,
что в непериодическом случае она может быть неправильной [3] (см. также [16]).
В такой ситуации наибольший интерес представляет задача о выборе такого допустимого управления, при котором замкнутая система становится приводимой (или правильной) и, следовательно, обладает (локально) управляемыми показателями.
В работе Е.Л. Тонкова [53] была рассмотрена произвольная нестационарная система (0.1) с равномерно непрерывными на М. функциями А(-) и В(-). В этой работе была доказана эквивалентность условий равномерной полной управляемости и равномерной стабилизируемости системы (0.2). Равномерная стабилизируемость означает, что для любого А > 0 существует непрерывное управление {/() = U(-, А), при котором всякое решение x{t) системы (0.2) удовлетворяет неравенству
1 , x(t)
lim - In гг < -А.
<-«-) оо t — S |®(s)|

Теорема 4.1. Пусть система (4.1) равномерно локально достижима. Допустим, что выполнено по крайней мере одно из условий:
a) система (4.2) правильная;
b) система (4.2) диагонализируема.
Тогда система (4.1) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова.
Замечание 4.1. Непосредственно из условий теоремы 4.1 вытекает ряд следствий. Сформулируем некоторые из них.
Следствие 4.1. Пусть система (4.1) равномерно локально достижима. Предположим, что система (4.2) является приводимой (в частности, периодической). Тогда система (4.1) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова.
Это утверждение следует из того, что всякая приводимая система является правильной.
Следствие 4.2. Пусть система (4.1) локально достижима. Предположим, что функции А{(-), i = 0
Это утверждение вытекает из теорем 2.1 и 4.1. Действительно, в силу теоремы 2.1 из локальной достижимости непрерывной периодической системы А следует ее равномерная локальная достижимость. На самом деле условие непрерывности функций А,(-) излишне (в случае их периодичности), достаточно чтобы функции .4,() удовлетворяли условиям этого параграфа. Это несложно показать, используя идею доказательства леммы 1.4 и леммы 3.1. Здесь важно, чтобы функции А;(') были периодичны с одним периодом.
Следствие 4.3. Пусть система (4.1) равномерно локально достижима. Предположим, что система (4.2) является системой с интегральной разделенно-стъю. Тогда система (4.1) обладает свойством локальной управляемости показателей Ляпунова.
Это утверждение вытекает из теоремы 4.1 и работы [2], в которой показано, что всякая система с интегральной разделенностью диагонализируема. На самом деле, систем с интегральной разделенностью и диагонализируемых систем «достаточно много». Известно, например (см. [33]), что множество линейных систем с интегральной разделенностью совпадает с открытым ядром множества диагонализируемых систем, а в работе [32] показано, что системы с интегральной разделенностью всюду плотны в пространстве всех линейных систем с ограниченными и кусочно непрерывными А(-) и с метрикой р(А, А) = supteK |A(t) — A(t) (а также с метрикой (1.9), см. [42]). Поэтому любое из этих условий не дает сильных ограничений на систему (4.2), и можно пытаться как-либо ослаблять эти условия. В частности, в работе [26] показано, что при п — 2 и различных показателях Ai(A), А2(А) для системы А = (А, В, С) эти условия можно снять. Однако ослабить условие равномерной локальной достижимости не удается. В работе [46] (см. также [39]) показано (для системы (1.2) с матрицей С = I), что если система (4.2) является системой с интегральной разделенностью, то необходимым условием локальной управляемости показателей Ляпунова является условие согласованности, которое, в свою очередь (в случае 0 € int U), обеспечивает локальную достижимость (см. далее §5).