Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием

• Автор: Нидченко, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 111 с. : ил.

1 РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ
РАВНОВЕСИЯ
1.1 Постановка задачи
1.2 Функция Грина периодической задачи
1.3 Специальное интегральное уравнение
1.4 Система уравнений разветвления
1.5 Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1)
и их периодов
1.6 Устойчивость периодических решений
1.7 Примеры
2 БИФУРКАЦИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
2.1 Существование антисимметрических периодических решений
2.2 Оператор монодромии
2.3 Асимптотика периодических решений системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра ц
2.4 Устойчивость квазигармонических дифференциальных уравнений с за-
паздыванием
2.5 Устойчивость дифференциального уравнения (2.18)
2.6 Устойчивость периодических решений нелинейного дифференциально-
го уравнения с запаздыванием
2.7 Примеры
3 УСТОЙЧИВОСТЬ АНТИСИММЕТРИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
3.1 Существование периодических решений
3.2 Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения

3.3 Исследование бифуркаций корней характеристического уравнения
3.4 Устойчивость периодических решений
3.5 Пример
4 ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
"ХИЩНИК-ЖЕРТВА"С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
4.1 Существование симметрических периодического решения
4.2 Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием
4.3 Расположение корней характеристического уравнения для порождающей краевой задачи
4.4 Поведение корней характеристического уравнения при конечных значениях параметра
4.5 Численные исследования математической модели
ЛИТЕРАТУРА

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова - Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах H.H. Красовского [45), A. Halanay [113,114], С.Н. Шиманова [88,91,92), Ю.А. Рябова [69,70], А.Ф. Клейменова |33, 34], Л.Э. Эльсгольца [98], K.M. Цойя |86, 87], Л.З. Фишмана [80]. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю.А. Митропольского |53, 54], В.П. Рубаника [68], В.И. Фодчу-ка [53,81], A. Halanay [115], Д.И. Мартынюка [51,54], А.М. Самойленко (51], B.C. Сергеева [72] и других авторов. Метод Андронова - Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale 1116], S. Chow, J. Mallet-Paret [102], Ю.С. Колесова, Д.И. Швитра [35], N.D. Kazarinoff, Y.H. Wan, Р. van den Driess-che [123], N. Chafee [101], J.R. Claeyssen [103], D. Schley [130]. Топологические методы применялись в работах М.А. Красносельского [42-44], В.В. Стрыгина [44], Б.Н. Садовского [71], Ю.Г. Борисовича [6,7], В.Ф. Субботина [6,77], P.P. Ахмерова [3]. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю.С. Колесова [36], С.А. Кащенко [30], В.И. Фодчука, А. Холматова [82]. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В.И. Рожкова [66,67], А.М. Родионова [65]. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright [136], G. Jones [119,120], R. Nussbaum [126,127], R.B. Grafton ]108,109], J.L. Kaplan, J.A. Yorke (121,122], H. Walther [133,134]). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson [118], D. Stirzaker [131], R. May (124], B.R Бабский, А.Д. Мышкис [4], С.А. Кащенко [31], K. Gopalsamy [107], Г.И. Марчук [52], В. Вольтерра [12], Ю.С. Колесов [37], В.В. Майоров, И.Ю. Мышкин [48], А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский [25], W. Wang, S. Ruan [135]). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [39], H.H. Красовского |46], Дж. Хейла [83], А.М. Зверкина [27], С.Н. Шиманова [95], A. Halanay [112], W. Hahn (110], B.A. Stakes [132], H.В. Азбелева [1], П.M. Симонова [2,73], А.Ф. Клейменова |34], Ю.Н. Смолина [74,75], Е.Л. Тонкова ]78], Ю.Ф. Долгого [21], В.Г. Курбатова [47], Д.Я. Хусайнова [84], В.В. Малыгиной [50], В.А. Тышкевича (79], Л.М. Березанского [5], A.B. Захарова [15,26], С.Г. Николаева [20], Г.Л. Гасилова [14], A.B. Кима [40,41], А.Л. Скубачевского, Х.О. Вальтера ]10,11], J.L. Kaplan, J.A. Yorke ( 121], P. Dor-mayer [104,105], P. Dormayer, A.F. Ivanov , В. Lani-Vayda [106] и других авторов.

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу
Jy = АЯ(ч?,р)у, у = zJy{0), |г| = 1, А, г е С. (2.37)
При фиксированных значениях аргументов $ е [—1,0], р е [0,7), матрицы #(фр) определенно положительны. Отсюда следует, что вспомогательная краевая задача (2.37) является самосопряженной. В силу самосопряженности, краевая задача (2.37) имеет не более чем счетное число собственных чисел А, единственной предельной точкой которых может быть лишь А = оо. Собственные числа (коль скоро они имеются) вещественны и имеют конечную кратность [100; с. 176]. Если краевая задача (2.28), (2.29) имеет собственное число 2, удовлетворяющее условию |г| = 1, то краевая задача (2.37) будет иметь собственное число А — г. Поскольку все собственные числа задачи (2.37) вещественны, то отсюда следует, что отмеченное собственное число 2 = 1 или 2 = -1. Лемма доказана.
При непрерывном перемещении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости они смогут пересечь единичную окружность |г| = 1, согласно леммы 2.4 , только в точке 2 = 1 или 2 = -1. В силу симметрии движения корней характеристического уравнения два корня одновременно пересекают окружность в точках 2 = 1 и 2 = -1. Направления пересечения окружности также совпадают. В момент пересечения окружности корень г = 1 становится кратным. Это условие позволяет определить соответствующее значение параметра р = р*. Имеем
тш. 2 _ - 2м. .да. о.
дг дг дг
Следовательно, переход корней характеристического уравнения на комплексной плоскости через единичную окружность осуществляется при значениях параметра р, определяемых уравнением
= 0, ре [0,Т). (2.38)
Рассмотрим окрестность точки 2 = 1. Полагаем 2 = 1 + 2 где г - малое возмущение. Фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений (2.28) будем искать в форме асимптотического разложения
У{д,г,ц) = УЬ^.р) + Ух{д,ц)г + У2(г9, ц)г2 + о(г2),
где •в е [-тг/2,0], 2 е С, р е [0, у). Для нахождения коэффициентов этого асимптотического разложения имеем уравнения
Го = Г!Я(фр)Г0, (2.39)
У1 = /-1Я(^р)У1 + у-1Я(^,р)Г0,
¥2 = 3-1Н(д,1л)У2 + Г1Н(Я,(1)¥и’де --,0 , ре [0,7).
7Г 2’
Поскольку К(-тг/2,2, р) = /2, 2 € С, то Ко(-7г/2,р) = 12 , У!(-7г/2,р) = 0, У'2(-7г/2, р) = 0, р € [0, у). Зная У„ можно найти матричные функции
ВДаО = - [ Уо(1?,р)Г0-1(5,р)7Я(5,р)Го(5,р)^, (2.40)
-ж/2