К Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами

• Автор: Дудкина, Анна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 176 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Постановки эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами и подходы к их решению
1.1 Краткий обзор Ьр -теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами
1.2 Обобщенные постановки в классе с первыми производными
из Ьр
1.3 Ьр-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Ьр - разложения Ходжа
2 Ьр -теория модельных задач
2.1 Преобразование Фурье
2.2 Задачи Штурма-Лиувилля
2.3 Метод Фурье для модельных задач
2.4 Локальные Ьр -оценки
3 Размерности ядра и коядра
3.1 Компактные линии разрыва в К2
3.2 Эффект взаимодействия бесконечной и конечных
особых точек в К2
3.3 Задача Дирихле для ограниченной области £2
Литература
Введение
Обобщенные решения линейных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами являются объектом исследования огромного числа работ. В большей части этих работ вопросы существования и единственности решений исследуются в рамках Т-теории, т. е. в пространствах Соболева И2- Значительно меньше внимания уделяется вопросам существования и единственности решений в рамках £>р-теории при р ф 2 даже в случае уравнений второго порядка в дивергентной форме.
В диссертации исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Ьр для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью в случае двух переменных. При одинаковой знакоопределенности кусочнопостоянных коэффициентов частный случай р — 2 интереса не представляет, так как теорема существования и единственности обобщенного решения при р = 2 совпадает с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве.
В работах Мазьи В.Г., Пламеневского Б.А. [11] и Кондратьева В.А. [7] классы решений являются весовыми, причем случай единичного веса исключается. В работе Мазьи В.Г., Реберга И., Элшнера И., Шмидта Г. [71] вес единичный, но не рассматривается плоский случай. В диссертации рассматриваются классы решений с первыми производными из Ьр без веса во всей шкале значений показателя р Е (1,оо). Работы Аушера П. [26], Ди-Фацио Дж. [50] и Мейерса Н.Г. [72] также касаются класса решений с первыми производными из Ьр без веса для эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме и с дивергентной правой частью. Однако, в отношении рассматриваемых в диссертации задач результаты [26], [50], [72] носят частный характер.
В вышеупомянутых работах не поднимается вопрос о необходимых и достаточных условиях того, что особая точка линий разрыва коэффициентов будет особой точкой решения, как не ставится и вопрос о вкладе особых точек линий разрыва коэффициентов в размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора. А эти вопросы интересны и важны с прикладной точки зрения. Рассматриваемые задачи описывают, в

частности, стационарную теплопроводность многокомпонентных твёрдых тел. Например, композитов, когда каждая компонента имеет свой коэффициент теплопроводности, а поверхности разрыва коэффициента теплопроводности не являются гладкими (см. также [63]). Интересно, что даже в случае сколь угодно малой разницы в значениях смежных коэффициентов теплопроводности, негладкое™ поверхностей разрыва коэффициентов могут порождать особые точки решений, в окрестности которых градиенты решений не ограничены. При этом характер особенностей не исключает принадлежность градиентов решений к Ьр при достаточно больших р.
Работ, посвященных размерностям ядра и коядра эллиптического оператора в дивергентной форме очень мало. Стоит отметить только работы Ильина Е.М. [5, 6], постановка и общий подход в которых, схожи с постановкой и подходом в диссертации. В работе [5] исследуются особенности, возникающие у слабых решений краевых задач для равномерно эллиптического оператора второго порядка с дивергентной главной частью сйу(АУи) в ограниченной области П С К2 с разрывными коэффициентами. В [5] предполагается, что граница дС1 - кусочно непрерывно дифференцируема и имеет угловые особые точки с ненулевыми углами. При этом гладкие непересекающиеся кривые {Iх разбивают О на подобласти так, что производные решения претерпевают разрывы первого
рода на кривых Г*,. Допускаются пересечения кривых Г д. с сЮ под ненулевыми углами. На линиях разрыва коэффициентов задаются условия непрерывности решения и его производной по конормали. В [5] рассматривается стандартная обобщенная постановка задачи для класса И/21(П). Слабое обобщенное решение с односторонней гладкостью класса И (ДД, к — 1
В работе [6] изучаются схожие с [5] вопросы, но для случая, когда линии разрыва имеют внутренние угловые точки. При этом матрица А в окрестности особых точек не предполагается скалярной. Работа [6] опирается на

1.3 Lp-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Lp - разложения Ходжа
Чтобы сформулировать результаты удобно ввести следующие обозначения. Через Jp(R2) обозначим замыкание в LP(R2;R2) подпространства
J°° (R2) = {v. v еС°° (R2; R2), divu = 0}.
Через (7р(М2) обозначим замыкание в Lp(R2;R2) подпространства
G°° (R2) = { w = Хф : ф ЕС00 (R2)}
В силу теоремы аппроксимации Соболева [18] подпространство GP(R2) совпадает с подпространством всех потенциальных векторных полей в LP(R2;R2). Последнее означает, в частности, что для интегрального тож-

дества (1.13) обобщенная постановка с пробными функциями ф £ С°° (R2) эквивалентна постановке с пробными функциями ф £ Zy(R2), где р' — р/(р — 1) — показатель, сопряженный к р £ (1,оо). Следует одна-

ко отметить, что подпространство С°° (R2) всюду плотно в L*(R2) с нормой (1-11) лишь при 2 р < оо. При 1 < р < 2 замыкание в L*(R2) с

нормой (1.11) подпространства С°° (R2), как известно, состоит из функций, выходящих на бесконечности на нулевую константу.
Хорошо известно (см., например, [12]), что
р' =р/(р- 1), 1 <р < оо, (1.17)
где символом Xх- обозначен аннулятор подпространства X С LP(R2;R2). Напомним, что аннулятор Xх будет сильно замкнутым подпространством в Iy(R2;R2) в случае 1 < р < оо. Соотношение (1.17) можно охарактеризовать как следствие теоремы де Рама [16].