Приближенные группы преобразований дифференциальных уравнений с малым параметром

• Автор: Газизов, Рафаил Кавыевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 314 с.

1 Локальные группы Ли и алгебры Ли
§1. Конечные локальные группы Ли
§2. Алгебра Ли
§3. Группы Ли преобразований
2 Приближенные группы преобразований
§4. Приближенные функции.
Существенные параметры
семейства приближенных функций
§5. Приближенные группы преобразований. Первая прямая теорема Ли
§6. Обратная первая теорема Ли
§7. Приближенная алгебра Ли операторов. Вторая теорема Ли
3 Инварианты приближенных групп преобразований
§8. Инвариантность приближенных функций
§9. Одно-параметрические приближенные
группы: интегрирование приближенных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
§10. Много-параметрические приближенные группы: интегрирование систем приближенных линейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка
§11. Достаточное условие полноты систем • • •»
4 Приближенные симметрии уравнений с малым параметром
§12. Критерий инвариантности уравнения с малым параметром 120 §13. Алгоритм решения приближенных определяющих уравнений
§14. Свойства приближенных симметрий
§15. Приближенные симметрии дифференциальных уравнений.
Пример вычисления приближенных симметрий
§16. Приближенно инвариантные решения
§17. Приближенные преобразования эквивалентности
§18. Приближенные симметрии,
изменяющие малый параметр
§19. Использование точных групп преобразований для исследования симметрийных свойств уравнений с малым параметром
5 Приближенные симметрии некоторых конкретных уравнений с малым параметром
§20. Обыкновенные дифференциальные
уравнения вида и" + и = sF(u)
§21. Эволюционные уравнения вида
щ = к(и)их + еН
§22. Волновые уравнения вида ии + еф(и)щ — (/(и)их)х
§23. Волновые уравнения
типа уравнения Буссинеска
6 Нелокальные приближенные симметрии дифференциальных уравнений
§24. Квазилокальные симметрии дифференциальных уравнений
§25. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности
§26. Квазилокальные симметрии одномерных уравнений газовой
динамики
§27. Квазилокальные приближенные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности с малыми конвективными членами
Заключение
Литература

рода.
Отметим, что в приложениях приведенный алгоритм оказывается очень громоздким и почти никогда не применяется. Более приспособленным для практического использования является алгоритм построения локальной группы в канонических координатах второго рода, основанный на отыскании ’’базисного” набора подгрупп 0. Этот алгоритм реализуется следующим образом: берется произвольный набор из г линейно независимых направляющих векторов ер и им соответствующих однопараметрических подгрупп ар{б). Затем образуется множество элементов, зависящих от г параметров по формуле
а(а1, ... ,аг) = а^а1) • ... • аг(аг) . (1-16)
Тогда исходные координаты будут даваться формулами вида (1.1),
да01 п гг
в точке а = 0 имеет ранг, равный г. Поэтому а
причем матрица
дад
новые координаты в С>, которые называются каноническими второго
рода.
§2. Алгебра Ли
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Векторное пространство Ь называется алгеброй Ли, если в Ь определена бинарная операция коммутации, которая каждой упорядоченной паре (и, и) £ Ь х Ь сопоставляет коммутатор - вектор [и, г] £ Ь, причем выполнены аксиомы:
1°. Линейность: а,(3 £ Д; д, д,гг £ Ь => [аи + (Зи,ио] = «[щге] + /3[г>,гд]; 2°. Антисимметричность: и,у £ Ь =>■ [гг, г?] = —[д,д];
3°. Тождество Якоби: и,и,ю £ Ь ==>• [[гг,г;],го] + [[г/,гг?], гг] + [[гг;, гг],г;] = 0.