Разрывная граничная задача линейного сопряжения и связанные с ней сингулярные интегральные уравнения

• Автор: Пааташвили, Вахтанг Абрамович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 311 c. : ил

§ 0. Основные определения, обозначения и предварительные сведения

ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ В КОНЕЧНО-СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

§ I. К определению сингулярного интеграла

§ 2. Непрерывность оператора Sp по мере

§ 3. Распространение оператора по непрерывности. Связь ограниченности оператора Sp в AP(f). с принадлежностью функции классам
Смирнова

§ 4. Связь классов Ир и R,

§ 5. Условия принадлежности кривой классу Ц,

§ 6. Об ограниченности оператора Sp в пространствах АР(Г;ц))

§ 7. Сингулярный интеграл в среднем и его

свойства
§ 8. О производных интеграла типа Коши
Глава II. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ
В СЛУЧАЕ СЧЕТНОГО МНОЖЕСТВА КРИВЫХ
9 9. Контуры класса FL
§ 10.Ограниченность оператора ^ в весовых лебеговых пространствах
§ II.Случай счетного множества концентрических
окружностей
§ 12.Пространства Л (v) и ограниченность оператора
Sn в этих пространствах

§ 13.Теорема Племеля-Привалова для контура класса Г

§ 14.0 представимости аналитических функций интегралами Коши и типа Коши
Глава III. РАЗРЫВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ § 15.Классы кривых и коэффициентов. Формулировка
результата
§ 16.0 принадлежности функции классу
Смирнова
§ 17.Случай,когда Г гладкая кривая и С[ £ А(р)
§ 18.Случай Г €-5, СгбА1р)
§ 19. Случай Ре Г, 0. е А (р)
§ 20 .Некоторые подклассы множества
при Р е У*
§ 21 .Случай Г е 3 ; ^ еА(р) . Обобщения и
замечания
§ 22.3адача сопряжения в классе функций,представимых
в областях интегралом Коши
§ 23.Задача линейного сопряжения в классах 76р(Г; со)
§ 24.Разрывная задача сопряжения,когда Р* прямая
' ЪеЩ
Глава IV. РАЗРЫВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СЧЕТНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
§ 25 .Некоторые вспомогательные предложения
§ 26.Однородная задача
§ 27.Разрывная задача сопряжения в классе АР(у)
§ 28.Теоремы Нетера для полного сингулярного уравнения в классе ИМ
ЛИТЕРАТУРА

В предлагаемой работе исследуется разрывная граничная задача линейного сопряжения в классах функций, представимых интегралом типа Коши с некоторой главной частью и связанные с ней сингулярные интегральные уравнения в пространствах суммируемых функций в новых общих предположениях относительно заданных и искомых элементов задачи. Рассматриваемая постановка этих задач потребовала исследовать с соответствующей общностью свойства сингулярных интегралов и интегралов типа Коши.
Важным модельным случаем одной группы граничных задач является задача линейного сопряжения. Так называют задачу следующего типа - найти функцию , аналитическую на разрезанной вдоль некоторой совокупности кривых Г комплексной плоскости, удовлетворяющую условию
4+Й =■ ОД1~«:) + 3£*)( (I)
где , Я -заданные на Г функции, а и ^ граничные значения <£(*) в каком либо смысле, когда точка 2 стремится к точке -Ь слева, соответственно справа, относительно выб
ранного на Р направления.
Впервые эта задача встречается в исследованиях Римана ([115]). Важные результаты в ее исследовании получены в работах Ю.В.Сохоцкого С [131] ) , Д.Гильберта ([178]), И.Племели ([182]), Т.Карлемана ([170]). В дальнейшем значительный вклад в разработке общей теории граничных задач и особых интегральных уравнений внесли советские математики.
Для того, чтобы иметь корректно поставленную задачу,следует точно оговорить предположения : I) о кривой Р , 2) о заданных функциях в граничном условии и 3) о граничных свойствах

Однако легко можно установить, что при предположении р 6 |^0 ( см.0.16) оператор Зр последовательности,сходящиеся в Z (Г'); переводит в последовательности , сходящиеся по мере.
Пусть И (Г) -метрическое пространство измеримых почти всюду конечных на Г функций с метрикой

о, и = (
і і + - %№>)
Как известно ( см.напр.[5з] , стр.14) сходимость последовательности |а1 в М(г) к , равносильно сходимости по
мере к ^ ; кроме того, если сходится в /(Г);
то она сходится и в ИЙ.
Теорема 2.1. Если простая кривая Г принадлежит
классу ^,0 , то оператор Зр непрерывен из любого пространства /Лб, р>1, в пространстве Н(Р).
4| Рассмотрим операторы
Т.: І-ІЛ, (ІЛ)М= і ЬГг
Гі(і)
(определение Гхй) см. 0.1%).
В рассматриваемом случае имеем
У>, (і — їй I с - і | > о
(2.1)
іеї1. сврдр)
Действительно, если допустить, ЧТО » т0 найдутся
последовательности и I такие, что
1- сс*“’)| -*0, I < Iь1"'-

То'