Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями

• Автор: Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 167 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• ГЛАВА 1. Исследование переопределенной линейной системы трех

уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка

с двумя вырождающимися линиями

□ §1.1. Случай а <,Р <1, с2(х,у) =

□ §1.2. Случай а <1,/3 <1, с2(х,у) Ф

О §1.3. Случай а = 1,/3 = 1, с2(х,у) =

□ §1.4. Случай а = ,р = , сг(х,у)Ф§

О §1.5. Случай а > ,Р> 1, с2(рс,у) =

О §1.6. Случай а > ,0 > 1, с2{х,у) ^ О

□ §1.7. Случай а <1,/У = 1, с2(х,у) =
□ §1.8. Случай а < ,Р= 1, с2(х,у') ^ 0
О* §1.9. Случай а = , с2(х,у) =
□* §1.10. Случай а = 1,/? < 1, с2(х,у) Ф
□ §1.11. Случай а <1,/?>1, с2(х,у) =
□ §1.12. Случай а < ,0 > 1, с2(х,у)
□ §1.13. Случай а > ,/3< 1, с2(х,у) =
□ §1.14. Случай а > ,р < 1, с2(х,у) ф
□ §1.15. Случай а > 1,/9 = 1, с2(х,у) =
С] §1.16. Случай а > 1,/7 = 1, с2(х,у) &
й §1.17. Случай а = ,/3 > 1, с2(х,у) =
□ §1.18. Случай а = 1,/? > 1, с2(х,у) ^
• ГЛАВА 2. Исследование переопределенной линейной системы трех
уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями....................... 69 •
□ § 2.1. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в
виде обобщенного степенного ряда ПО переменному X
□ § 2.2. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в
виде обобщенного степенного ряда по переменному у
• ГЛАВА 3. Исследование переопределенной линейной системы трех
уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка
с двумя вырождающимися линиями в случае разных параметров
й § 3.1. Случай а <,/3 < 1, у <1, X <1, с2(х,у) =
О § 3.2. Случай а=1,/?=1,у = 1Д = 1, с2(х,у) =
□ § 3.3. Случай а >1,/?>1, у>, Л >1, с2(х,у) =
□ § 3.4. Случай а >,Р = 1, у >1, Я = 1, с2(х,у)-
□ § 3.5. Случай а >1,/? <1, у > 1, Л <1, с2(х,у) =
• ГЛАВА 4. Исследование переопределенной линейной системы двух
уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка
С двумя сингулярными и сверхсингулярными ЛИНИЯМИ

□ §4.1. Случай ау(х,у) е СХ(П), а < ,Р < 1,у < 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы
■ §4.1.1. Случай с2(х,у) = 0
■ §4.1.2. Случай с2(х,у) Ф
□ §4.2. Случай я,(х,у) е СХ(П>), а < ,р < 1,у < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы
* §4.2.1. Случай с2 (х, у) =
* §4.2.2. Случай с2(х,у) Ф
□ §4.3. Случай я, (х, у) е СХ(П), а>,/3>,у> и исходным уравнением является первое уравнение системы
■ §4.3.1. Случай с2(х,у) =
■ §4.3.2. Случай с2(х,у) ф
□ §4.4. Случай ах(х,у) е Схф), а>,Р>,у> и исходным уравнением является второе уравнение системы
■ §4.4.1. Случай с2(х,у) =
« §4.4.2. Случай с2 (х, у)Ф
□ §4.5. Случай ах(х,_>0 е СХ(П), а < ,р > 1,у < 1 и исходным уравнением ЯВЛЯеТСЯ Первое уравнение СИСТеМЫ
■ §4.5.1. Случай с2(х,у) =
* §4.5.2. Случай с2(х,у)ф
□ §4.6. Случай ах(х,у) е СХ(В), а < ,р > ,у < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы
■ §4.6.1. Случай с2 (х, у) =
■ §4.6.2. Случай с2(х,у) Ф
□ §4.7. Случай а{{х,у) е СХ(В), а > ,р > 1,у < 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы
1 §4.7.1. Случай с2(х,у) =
■ §4.7.2. Случай с2(х,у) Ф
□ §4.8. Случай я, (х,у) е СХ(П), а>,р>,у < 1 и исходным уравнением ЯВЛЯеТСЯ ВТОрОе уравнение СИСТеМЫ
■ §4.8.1. Случай с2(х,у) =
* §4.8.2. Случай с2(х,у)ф
• ЛИТЕРАТУРА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера1; из физики, гидродинамики, теории упругости и других разделов математическою физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ.. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И.Н.Векуа [3], А.В.Бицадзе [1]-[2], М.М.Смирнова [62]-[63], М.С.Салохиддинова [61], Л-.Г.Михайлова [10]-[15], 3:Д.Усманова [65], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Ф.Д.Гахова [6], К.Р.ОПЬсг! [7], К.У.Сагго11 и ИВИолуаЙег ■ [64], H.Begehr [4], А.Д.Джураева [8]-[9] и их учеников.
Другим важным направлением в теории уравнений с частными' производными является-изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными с регулярными и сингулярными' коэффициентами. Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящены работы Л:Г.Михайлова [10]-[15], А.Д.Джураева [8]-[9], Н.Ве§еЬг [4], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Э.Р.Рузметова [59]-[60] и их учеников.
Изучение переопределенных систем начали, с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Монография Л.Г.Михайлова [10] посвящена изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами. В работе Л.Г.Михайлова [14] им было найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой

Допуская, что решение линейных уравнений (1.1.3) и (1.1.4) при а = ,/3 = существуют, легко можно их найти [36]:
У(х,у) = дг-4><0'°> ехр[ -У>Ьг{х,у){ч>Лу) + ]г‘,(0'0) ехр[ (<,у)] » (1.3.1)

»(*.*) = т“*(°,0) ехрГ-н’„1 (*,У)](А(*) + Vе0,4 ехр[и'„1 , (1-3.2)

где ф2(х) и ц/2(у)-произвольные функции соответственно точек Г, и Г2,

О о ‘
В представлении (1.3.2) вместо Р(х,у) подставляя его значение из (1.3.1), находим:
ф,у) = У~°лт ехр[-^01 (х,у)}{ф2(х) + Г,м°.0)-.Х-М0.°) еХр|>в| (х,л) - (*,.?)]■
(1.3.3)
•0//2(л)+ |^<0'°н ехр[и>(1(/,я)]-/1(г,5)<й)<*} = ^2[^2(х),^2(у)>/.(л.у)]-

Теперь второе уравнение системы (1.1) при а = 1 представим в виде: “[х',2<0,0) ехр[>(,2(х,у)и(х,у)] = х°ло-оу] ехрОа; (х,у)]/2(х,у), (1.3.4)
гга . . хгаМ,у)-а2(0,0) ,
где м>а1 (х,у) = ].

Решение вида (1.3.3) и тождество (1.3.4) получены при предположении, что функции афэу), Ьх(х,у) и а2(х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условиям Гёльдераи я,(0,0) >0, Ьх(0,0) > 0.
В (1.3.4) подставляя значение и(х,у) из (1.3.3), приходим к следующему 1 равенству:
А{ХМ°.0^ехр|- У,11г(х,у)-'«>а1(х,у)](фг(х)+ (х“.'0-0!-'х<».») ехр[ 10^ (*,$)- М»4](*,5)].
.((У2(.У) + |*МО.°>-1 ехр[ (/,$)]/,(/,$)<*)«&)} = х»2(0.°)-1 еХр[ (х,у)] /2(х,у). о
В левой части последнего равенства выполняя операцию дифференцирования и предполагая, что функции я, (.?, у) и а2(х,у) связаны между собой формулой (1.1.9) при а = 1,/? = 1, после некоторых преобразований получим:
#(*) + Д,(*’0) Фг (.х) = х-,у“л°-0) ехр[шоДх,у)]/2(х,у)-х'|а2(х,0)]я“,(0'°)_1^м“-“) ехрр!^ (х,х)-(ж,*)].
“ (1-3.5)
•О20)+ фь‘(0-0>-‘ ехр[и>4] (/,*)]/,(<,ф — (0-0)-'д:-А<<0-°> схр[»Я1 (х,.V)-и-#1 (х,.1)1 (|//2(.5) +
О 0е*
+ фм°-0>“' ехр[и’,1 (Г,х)] /, (М)й)}с&. о
В силу условия независимости левой части этого равенства от у, имеем