Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами

• Автор: Джабраилова, Лейла Мусаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 89 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Изучение дискретной компоненты спектра оператора Л (г)
§ 1. Постановка задачи и формулировка
основного результата
§2. Построение решений (х, А) и (р(х, Л)
§ 3. Построение функций Блоха
§ 4. Построение резольвенты оператора І7(г)
§ 5. Доказательство первого утверждения теоремы
§ 6. Доказательство ограниченности снизу множества
собственных чисел оператора Л (є)
Глава II.Изучение непрерывной компоненты спектра оператора Л (є)
§ 1. Формулировка основного результата
§2. Построение оператора ЕДл)
§ 3. Случай двукратного спектра оператора Л (є)
§4. Разложение произвольных функций из оо,оо) по обобщенным собственным функциям оператора Л (г).
Равенство Парсеваля - Стеклова
§5. Спектр оператора Ло(є)
Глава III. Спектральный анализ оператора Ь(а)
§ 1. Постановка задачи и подготовительные теоремы
§2. Спектральный анализ оператора Ь{а) в случае а 0.

Подготовительные леммы
§ 3. Построение разложения единицы Е(а)
оператора Ь(а) в случае а
§ 4. Спектральный анализ оператора
Ь{а) в случае а <
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Решение многих модельных задач квантовой механики [2], связанных с исследованием свойств одномерных кристаллов, в линейном приближении, с математической точки зрения сводится к изучению спектральных характеристик в Ь2(—оо,оо) уравнения
В уравнении (0.1) потенциал д{х) является вещественной, периодической с периодом, равным сс > 0, функцией. В физической литературе уравнение (0.1) называется уравнением Хилла.
При условии суммируемости функции д(х) спектральные характеристики уравнения (0.1) изучались многими авторами. Итоги этих исследований подытожены в монографии Э. Ч. Титчмарша [39].
Установлено:
- спектр уравнения (0.1) полу ограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;
- спектр состоит из объединения отрезков (зон) Л7-, разделённых интервалами (лакунами) Т);
- число лакун, вообще говоря, бесконечно;
- длины лакун Ті при Ї —> оо стремятся к нулю;
- произвольная функция / Є іД—оо, оо) может быть представлена обобщенным интегралом Фурье как суперпозиция решений уравнения (0.1), соответствующих непрерывному спектру
-у"(х) +г{(х)у(х) = Ху(х), |г| < оо,
(0.1)

(0.2)

Теорема доказана в предположении f(x) е Со (—ос, ос), но так как множество Со(—оо,оо) всюду плотно в СД—оо, оо), то теорема 1.4.1 полностью доказана.
Из формулы (1.4.2) следует, что собственные числа оператора Н(е) являются нулями функции ¥(Л).
§ 5. Доказательство утверждения теоремы 1.1.
В § 4 было выяснено, что все собственные числа оператора Н(е) могут находиться только среди нулей уравнения
тДА) — тг(Л) = 0. (1.5.1)
Поскольку Н(е) самосопряжен в 1/2(—оо, оо), то все нули уравнения
(1.5.1) вещественны.
Приступим к их более тщательному изучению.
Лемма 1.5.1. Пусть А < 0, тогда функция т(А) вещественнозначная.
Доказательство. Согласно формуле (1.1.16)
_ г/1 (А) + г-у/АдДА)
и( X) + гл/ ц(Х)
причем, если А —вещественно, то их (А), дДА), ДА), /ДА) — вещественны. Пусть А 0, л/А = тогда
т1(Л) = -ЦЙ)- .уДрР)
,(л) - уил)
Лемма 1.5.1. доказана.
Лемма 1.5.2. Пусть А > 0, тогда функция тДА) —комплекснозначная.