Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов

• Автор: Асхатов, Радик Мухаметгалеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных эллиптических уравнений методом потенциалов

§1. Фундаментальные решения (п. 1.1-1.2)

§2. Интегральное представление Т и Т-р'-гармонических функций. Принцип максимального значения для Т12'1 и Тр>~

гармонических функций (п. 1.3-1.4)

§3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 1.5-1.6) .36 §4. Решение основных краевых задач методом потенциалов

(п. 1.7-1.8)

§5. Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения (п. 1.9-1.12)
Глава 2. Решение основных краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений

методом потенциалов

§1. Фундаментальные решения (п. 2.1)

§2. Интегральное представление Г 2;-гармонических функ-

ций. Принцип максимального значения для Т2-гармонических функций (п. 2.2)
§3. Краевые задачи и теоремы единственности (п. 2.3)
§4. Решение основных краевых задач методом потенциалов (п. 2.4)
Библиография

Введение
Краевые задачи для вырождающихся и сингулярных эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. (См. работы А. В. Бицадзе [17, 18], М. М. Смирнова [40, 41, 42], И. А. Киприянова [26, 27] и М. В. Келдыша [25]). Известно [35], что уравнения вида
Ддд — 0, (0-1)
д2 к д
где Ад = Ах'+ВХр, Ду- оператор Лапласа, В*
сингулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися эллиптическими уравнениями.
Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.
Связь теории сингулярных эллиптических уравнений с теорией вырождающихся эллиптических уравнений позволила применить к
— 1 + 1ч + 1з = 0.
(1.25)
Ясно, что при £ —> 0 интеграл 1% —> 0. Интеграл /г представим в следующем виде
12 = Вг I {ф1пуЫСЩе-В1 / иФпгсЮм-
См$е Сме
-в, / «(1п 1)./йСМо«.
См0£
Заметим, что на См0£: г = В силу этого замеча-
ния интеграл /2 согласно формуле о среднем значении может быть записан в виде
/ <*0. (1-26) См0е
Ясно, что | |< М при £ —> 0,

Нт-Вх г/Фху* 27Г£ = 21_й7гБ1'и(Мо),
а первый и последний интеграл в (1.26) стремятся к нулю. Выбираем В так, чтобы
21~кпВ1 = 1.