Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе

• Автор: Новоженин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе
1.1 Системы дифференциальных уравнений на счетномерном симплексе; неотрицательное решение задачи Коши
1.2 Необходимые и достаточные условия сохранения суммы фазовых координат
1.3 Методы приведения к системе на стандартном счетномерном симплексе
1.4 Представления систем на стандартном счетномерном симплексе
1.5 Решение задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе
1.6 Предельные свойства решения задачи Коши для систем на стандартном счетномерном симплексе
2 Принцип максимума для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе
2.1 Постановка оптимизационной задачи для системы на стандартном счетномерном симплексе
2.2 Многоточечная импульсная варианта и ее свойства
2.3 Сопряженная функция и ее свойства
2.4 Вычисление приращения критерия качества
2.5 Необходимые условия оптимальности для вспомогательной задачи
2.6 Необходимые условия оптимальности для управляемых систем на стандартном счетномерном симплексе
2.7 Оптимизационная задача для уравнения с неограниченным оператором
3 Оптимальное выделение заданной гармоники при сохранении постоянной суммы фазовых координат
3.1 Постановка оптимизационной задачи
3.2 Построение аппроксимирующей последовательности
3.3 Сходимость конечномерных приближений

3.4 Численные эксперименты
3.5 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени
Заключение
Список литературы

Введение
Подмножество пространства абсолютно суммируемых последовательностей її, состоящее из последовательностей с неотрицательными компонентами, сумма ряда из которых равна единице, называется стандартным счетномерным симплексом:
В дальнейшем счетные системы дифференциальных уравнений, для которых решение любой задачи Коши в каждый момент времени принадлежит симплексу S (1) при условии, что начальные условия принадлежат симплексу S, будем называть системами на стандартном счетномерном симплексе.
Эти системы используются для моделирования разнообразных реальных объектов и процессов. В первую очередь к ним относятся случайные, в частности марковские процессы со счетным числом состояний и непрерывным временем. Марковские процессы, впервые введенные A.A. Марковым в работах [118,119], получили в дальнейшем интенсивное развитие и широкое применение, в том числе в теории стохастических процессов, в частности в теории массового обслуживания. Родоначальником теория массового обслуживания явился датский инженер А.К. Эрланг [176], первые публикации которого относятся к 1900-м годам. В 1940 - 1950-х годах развитие теории продолжилось в работах [36,37,168,169,200] и др. В связи с развитием теории массового обслуживания начали активно использоваться стохастические модели со счетным числом состояний, областью приложений которых являются задачи о времени ожидания, задачи, связанные с расчетом числа занятых телефонных линий и различных типов очередей для телефонов, машин и т.п.
в этих моделях являются вероятности нахождения системы в одном из нескольких состояний. Очевидно, что при этом все фазовые переменные неотрицательны и их сумма равна единице, т. е. любая такая модель представляет собой систему на стандартном счетномерном симплексе.
Помимо подобных стохастических процессов в окружающем мире существует большое количество объектов, поведение которых можно описать с помощью счетных систем дифференциальных уравнений. Счетные системы дифференциальных уравнений очень активно используются в решении задач математической физики. В частности, метод Фурье приводит к тому, что от дифференциальных уравнений в частных производных целесообразно перейти к рассмотрению счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье. К таким системам дифференциальных уравнений сводятся в том числе многие дифференциальные уравнения параболического типа, используемые для описания процессов передачи тепла, диффузии и др. Часто постановка задачи требует, чтобы ее решение прини-

Кроме того, поскольку функции непрерывны, то при фиксированном I существует константа М такая, что
(
1 й ’ оо
, 2 X] 1=1 /
< М, г = 1, оо,
при любом выборе точки х из окрестности (1.42) симплекса 5. Тогда:
ОО ( ) оо (
11ф,Ж)-ф,$)и=х; ХІ ~ % Оо ОО
і= 1 £ -гі V Н V 1=1

/ оо ) оо
+Д і, X ОО 53 Ж3 ~ Р'г і, X оо 53%
Е%) 1=1 / 1=1 Е% 1=1
<(г-+м)£ к-м-

Теорема 1.4.2. Пусть система на стандартном счетномерном симплексе имеет вид (1.24). Тогда отношения компонент ее решения удовлетворяют уравнениям
— (_ ФЛЪХ)
<И X]) X] хі х j
г — 1,оо,
(1.43)
если Хі(і), а;,(!) ни в один момент времени не обращаются в ноль.
Доказательство. Для непрерывного отношения в силу уравнений (1.24) выполняются следующие равенства:

X.) Фі(І, X) ~Хі2 Ф*Д, Х)) -Хі[ ФДі, х) - X, £ фк(і, х)

Отсюда следует справедливость (1.43).