Экспоненциальная характеристика линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами и интегрального оператора Вольтерра с ядром экспоненциального типа

• Автор: Мудракова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 173 с.

Глава 1. Построение экспоненциальной характеристики
линейных дифференциальных уравнений
1.1. Экспоненциальная характеристика обыкновенного линейного дифференциального уравнения «-го порядка
1.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве
1.3. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения в частных производных
Глава 2. Построение экспоненциальной характеристики интегрального
оператора Вольтерра. Применение
2.1. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра и линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром типа функции Коши
2.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения
2.3. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по
каждой из двух переменных
2.4. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2п переменных.
Применение к линейному дифференциальному уравнению гиперболического типа
Заключение
Библиографический список использованной литературы
Актуальность темы. Диссертация относится к области качественной теории дифференциальных уравнений. В ней исследуется поведение на бесконечности решений некоторых эволюционных уравнений. Наряду с дифференциальными (обыкновенными, с частными производными, с запаздывающим аргументом) рассматриваются также линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения Вольтерра второго рода.
Как известно, одна из основных задач теории устойчивости по Ляпунову состоит в выяснении условий, при которых системы дифференциальных уравнений (линейных или "близких" к линейным) с аргументом, изменяющимся на полуоси, имеют ограниченные решения при всяких ограниченных правых частях.
Во многих задачах механики, теории автоматического регулирования, теории связи, биологии изучаемые процессы, вообще говоря, не остаются ограниченными во времени, в этих случаях не следует требовать, чтобы отклонения от предвычисленных значений были непременно малы или ограниченны. Они (отклонения) могут возрастать с течением времени, но скорость этого возрастания должна быть меньше или не превышать скорости возрастания самого процесса. Поэтому наряду с исследованиями ограниченности решений запросы практики приводят к исследованию экспоненциального роста решений в зависимости от соответствующего поведения правых частей модельного уравнения. Вопросы такого рода, восходящие своими истоками к работам А. Пуанкаре [1], П
[2], А.М. Ляпунова [3], О. Перрона [4], получили дальнейшее развитие в исследованиях М.Г. Крейна [5, 6, 7], Ю.Л. Далецкого [8, 9], М.А. Рутмана [10-13],
З.И. Рехлицкого [14, 15].
М.А. Рутман [10] в 1956 году впервые ввел понятие, которое следуя Л.К. Орлик [16, 17] будем называть экспоненциальной характеристикой линейного дифференциального уравнения.
Это основное понятие, связанное с изложенными в диссертации задачами. Рассмотрим линейное пространство Еа функций, показатели экспоненциального роста которых не превышают а. Пусть это пространство подвергается некоторому преобразованию V и а; - нижняя грань тех показателей /?, для которых V :Еа -> Ер. Зависимость ге(К;а) называем экспоненциальной характеристикой преобразования V.
В настоящей работе рассматриваются преобразования, порожденные решением задачи Коши линейных дифференциальных уравнений и преобразования, определяемые интегральными операторами Вольтерра. Результаты, полученные для интегральных операторов Вольтерра, позволяют исследовать линейные дифференциальные уравнения с частными производными гиперболического типа, а также дифференциально-разностные уравнения.
Тема диссертации входит в раздел "Исследование устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений, краевых задач с непрерывными коэффициентами" плана научной работы НВ РХБЗ ВС РФ по спецтеме, регистрационный номер 0407484.
Основная цель диссертации - получить вид экспоненциальной характеристики ряда преобразований определяемых линейными эволюционными уравнениями - дифференциальными и интегральными. А именно: построить экспоненциальную характеристику линейного дифференциально-разностного уравнения I порядка в банаховом пространстве с ограниченными на полуоси семействами операторных коэффициентов, интегральных операторов и уравнений Вольтерра второго рода с ядрами типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа, с ядром, зависящим от 2п переменных, а также некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с двумя и п независимыми переменными, когда коэффициенты уравнений являются вещественными или комплексными ограниченными функциями.
Общие методы исследования. Использованы методы классического и линейного функционального анализа; в частности рассматривается понятие полу-упорядоченности [18], полуупорядоченность осуществляется с помощью эле-

|К(г,^<^1е(/7о+с)^'и2(5-,1>М-^1-е(/?0+сК'-51)
= П£>5] е(А+£)('“51)(1 + 2М(^-51))<Д£>,1 е<А+*)[(^И*-*.)]х х(1 + 2М(5-5,)) = Я (1 + 2А/(5-51))е(/7о+£)(,'5,)<
.*1
<П (Ро + с){*-х) (А + *+2ЛО(*-5,)
— £,51
Итак при 5, <Х < 5, + 5, (.Т, ,/)
Цл: (г,л)1| <Я£|1] е(/3о+£)(?“5) еСА+*+2А#)(4-*,)>
При 5| = 0 будем иметь
|К(г,5)||<£>с е(А+с)('-5) -е (Д)+С+2Л0* (1.27)
в промежутке 10,5,(0,01 •
Полагая в (1.27) 5 = 52 =<^1 (0,0» имеем
|К(м2 )| И снова, уже при 52<5,<52+52(52,/) получаем оценку, совпадающую с (1.27):
||к(м2 )||<Д£ .е^о+е+2Л/)*2 .е2Л/(5 <
<0 е(й> + 0(»-0 .е(/?о+с+2Л/)5