Оценки первого собственного значения задачи Штурма - Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием

• Автор: Тельнова, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 93 с. : ил.

01.07.2015 415070170

Оглавление
Введение

1. Вариационная постановка задачи

2. Оценки первого собственного значения снизу

2.1. Предварительные оценки

2.2. Точные оценки

3. Оценки первого собственного значения сверху

3.1. Предварительные оценки

3.2. Точные оценки

Литература

Введение
Актуальность темы
В диссертации рассматривается задача, основополагающей для которой послужила задача, известная как задача Лагранжа [29] или задача о наиболее прочной колонне заданного объема. Эту задачу в более общей постановке решали ученые разных стран мира более чем 200 лет: Keller J.B. [28], [32], Tadjbakhsh I. [32], A. C. Братусь [2], [3], A. П. Сейранян [3], [19], S. J. Cox [21], [22], M. L. Overton [22], Ю. В. Егоров и В. A. Кондратьев [б], [24] и др. Для решения задачи Лагранжа потребовались практически все разделы вариационного исчисления, включая современные достижения. В свою очередь эта задача стимулирует развитие новых математических дисциплин, таких как теория экстремальных задач с недифференцируемыми функционалами. Механическая сущность задачи о колонне позволила выбрать среди возможных экстремалей оптимальные решения, имеющие явный физический смысл.
В 1773 году Ж.-Л. Лагранж, развивая работы Л. Эйлера [20] об устойчивости упругих стержней, поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р: найти форму колонны, максимизирующую критерий «прочности»

max yjj)
где Рс - критическая сила потери устойчивости, V - объем колонны. Колонна является телом вращения плоской кривой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости.
Потеря устойчивости колонны описывается уравнением изгиба тонких тонких стержней Бернулли - Эйлера
(Е1(х)уУ + Ру" = 0, 0
где у(х) - функция прогиба, Е - модуль Юнга, 1(х) = 7гД4(х)/4 - момент инерции стержня круглого сечения радиуса Я.
Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опирання колонны на обоих концах
5(ж°) = А(Ьх°)Ь/У, введя обозначения А = Р Ь4 / (ЕУ2),
С}(х) = 5,2(т), уравнение (1) и условия (2), (3) примут вид (нули в символах х° и у0 опускаем)
Задача (4) - (5) представляет собой задачу на собственные значения и сводится к максимизации первого собственного значения А при изопериметрическом условии (6).
Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемой в работах [28], [32], [6], и связанной с ней вариационной задачи при жестком закреплении колонны с обоих концов:
Потенциальная энергия колонны единичной длины выражается функционалом
При малых значениях А минимальное значение Т в классе Н$(0,1) равно 0. Критической нагрузкой Ао называется максимальное значение А, при котором т^я^д) Т — 0. Пусть
3/(0) = (Е1(х)у")х=о = 0, уЩ = (ЕІ(х)у")с=і = 0. (2)
Объем колонны задается интегралом
где А(х) = тгЯ2(х) - площадь поперечного сечения.
После введения безразмерных переменных х° = х/Ь, у0 = у/Ь,
(Я{х)у У + А у" = 0, 0 < х- < 1,
|/(0) = {Я(х)у")х,=о = 0, у(1) = {Я{х)у")л=і = 0.

2/(0) = у'(0) = у(1) = ?/(1) = 0.

Обозначим через Су, С2 и Сз следующие интегралы:
г 1 Г1 Г1 а“* I
/ у о'2 ах = С]. / уд2Ах = С2) / у02Ух — Сз.
Уо Уо Уо
Тогда
/о (у'2 + <5(а-0У2) «Ь /д1 + <5л,аД7(а-')Уе)
Ы М ^ -г 1 С 4 У
<гегоА7 „ея9{0} /0УУх " уд Ж
/о (у'о2 + - х)~тХАтЛу‘д^ с1х

/о У2вс1х
/о1 (^2 + Ух- ^ с1 + АС
/о Ув<1х °
/о (у'1 + С(х)у2) Лх
т“А7 = о«4п£ Л^ит -----------------------------------< Д[Зл,аД7, Ы-
<Эега,<г,7 г/еЯд{о} |о у2{х)Ах
В) Рассмотрим теперь случай 7 < 0, а < 27 — 1, /3 < 0. Рассмотрим функции
<Эл,а,в,7(ж) = Аж““(
Ув {х) = <
где 0 - такое действительное число, что 29 > ^ ~ — 1, 29 > 1 и
20 > ^ — 1, А > 0. Учитывая условия на а, /3, 7, получаем, что в ка-
честве 9 можно взять любое действительное число, удовлетворяющее неравенству 20 > ^ + ^ — -'-1 _ _
Введем обозначения для следующих интегралов:
[ УО Ах Си ( Уо Ах С2, [ А}а,р,-у{х)у() Ах — АС3.
0о Уо Уо