Устойчивость линейных неавтономных разностных уравнений

• Автор: Куликов, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 125 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

Глава I. Связь устойчивости разностного уравнения с оценками его функции Коши

1.1. Линейное неавтономное разностное уравнение

1.2. Вспомогательное функционально-дифференциальное урав-

нение

1.3. Устойчивость по начальной функции

1.4. Устойчивость по правой части

1.5. Признак устойчивости для полуавтономной системы

Глава И. Признаки устойчивости неавтономного уравнения

2.1. «3/2 — теоремы»
2.1.1. Точность константы 3/

2.2. Уравнение с одним запаздыванием и вариантой ^ а(г),
г~7г—к(п)
имеющей конечный предел
2.2.1. Точность константы 7г/2
2.3. Уравнение с ограниченными запаздываниями
2.3.1. Доказательство теорем 2.4 и 2.
2.3.2. Точность константы 3/2+ 2н+2 ^
2.4. Сравнение с известными результатами
Глава III. Признаки устойчивости уравнения с постоянными

коэффициентами
3.1. Признаки устойчивости в терминах ограничений на вспомогательную функцию
3.2. Переформулировка результатов в терминах параметров ис-
ходного уравнения
3.3. Точность границ области устойчивости
3.4. Сравнение с известными результатами
3.5. Обобщение на случай полуавтономных систем
Литература

Обозначения
N — множество натуральных чисел М0 = N и {0}
= {и € N : п > т}
Ак = {(га, т) € Мц : п > т}
Ъ — множество целых чисел Z_ = {га £ Ъ : п < 0}
Ж_т = {га Е Ъ : тг < т}
[тх, шг] = {гг € 2 : тх < п < тг}, если тх > тг, то [тцтг] = 0 К = (—оо, оо) — множество действительных чисел К+ = [0, оо)
[з] — целая часть действительного числа я — г-мерное вещественное пространство Сг — г-мерное комплексное пространство Сгхг — пространство комплексных матриц, размерности г х г Е — единичная матрица 0 — нулевая матрица
1р, 1 < V < оо — пространство функций / : N0 —>■ Сг, удовлетворяющих
loo — пространство ограниченных функций / : No -> Сг с нормой
Ьр, 1 < р < оо — пространство функций д : М+ Сг, суммируемых со
Д® — s) £ :
ll/I loo = sup |/(n)j

степенью p, с нормой IIpIIp = yf Ig{t)pdt

Лемма 1.5. При любом т £ N0 выполнено неравенство

5>(*)
Доказательство. Если р{т) < оо, то, учитывая определение фунции ц{т) Мт)
р, имеем 22 а(г) < 22 aW — V■ Рассмотрим случай, когда
i=m i—fi(m)~h(fj.(m))
р(т) = оо. Предположим, что неравенство (1.9) не выполнено (это возможно лишь если V < оо). Тогда найдется щ > т такое, что при всех

п > щ будет выполнено неравенство 22 а{г) > V. Так как р{т) = оо,

то, по определению функции д, найдется п>щ такое, что n — h(n) < т.

Имеем V > 22 a(i) > 22 а(0 > чт0 невозможно. □
i=n—h(n) г=т
Определение 1.7. Будем говорить, что выполнено /i-условие, если д(п) < оо при всех п £ Nq.
Если /i-условие выполнено, то мы можем гарантировать, что значения начальной функции или решения уравнения при г < п могут непосредственно влиять на поведение решения лишь в точках, не превосходящих р{п) + 1. В связи с этим можно сказать, что функция р характеризует «глубину памяти» уравнения.
Если функция h ограничена, то д-условие выполнено, так как в этом
случае sup {pin) — п) < sup h{n) < оо, что возможно, лишь если neNo neN
р{п) < со при всех п€ No-
Обратное утверждение неверно. Например, если h{n) = [п/2], то
sup h{n) — оо, но р{п) < оо при всех п £ No.

Лемма 1.6. Решение уравнения (1.8) с начальной функцией £т при каждом п £ Nm удовлеторяет оценке