Оптимальное управление системами, описываемыми векторными интегро-дифференциальными уравнениями с сильно эллиптическим оператором

• Автор: Эгамов, Альберт Исмаилович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 88 с.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ
ВВЕДЕНИЕ
КРАТКИЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ
1. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ВЕКТОРНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ
1.1. Начально-краевая задача для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с сильно эллиптическим оператором
1.2. Некоторые свойства оператора /[м] и примеры оператора f[u]
1.3. Вспомогательная начально-краевая задача для линейного векторного сильно параболического уравнения
1.4. Теорема о существовании и единственности решения начально-краевой задачи для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с сильно эллиптическим оператором
1.5. Начально-краевая задача для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с равномерно эллиптическим оператором и третьим однородным краевым условием
1.6. Выполнение фазового ограничения для однородной второй краевой задачи специального вида
1.7. Пример взрывной неустойчивости решения скалярного интегро-дифференциального уравнения с частными производными с начальным и краевыми условиямиЗЗ
1.8. Нахождение функции р для линейного оператора /[и]
1.9. Нахождение функции р и пример оператора /[м] для любого фиксированного неотрицательного к и неоднородных уравнения и граничных условий
2. ПРИНЦИП МИНИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ВЕКТОРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ
2.1. Постановка задачи оптимального управления
2.2. Необходимые условия оптимальности, представленные в виде принципа минимума
2.3. Вычисление приращений функционалов

2.4. Свойства приращения функции р*
2.5. Вычисление первых вариаций функционалов
2.6. Вычисление первых вариаций функций
2.7. Отделение конусов
2.8. Вывод принципа минимума
3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БИОФИЗИКИ, ОПИСЫВАЕМЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
3.1. Обобщенная модель Вольтерра “хищник - N конкурирующих жертв”
3.2. Математические модели динамики роста биомассы
3.3. Оптимальное управление для интегро-дифференциального уравнения специального вида
ЛИТЕРАТУРА
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Вп - п-мерное евклидово пространство векторов;
под символом ' будет пониматься операция транспонирования: А' - матрица, полученная транспонированием матрицы А; если I - вектор-строка, то Г - вектор-столбец; под перемножением двух А-мерных функций понимается их скалярное произведение;
П - ограниченная область вй" с кусочно-гладкой границей Е;
С} = О, х (О, Г), <3{тА) = П х (т, <) - цилиндры в Лп+1;
Б = Е х (О, Г), 5(т, <) = Е х (т,*) - боковые поверхности цилиндров <3, ((т) соответственно;
Da - обобщенная частная производная порядка s, отвечающая мультииндексу
{Баи(х, $)}|а|<т - совокупность всех возможных обобщенных производных функции и(х,Ь) до т-го порядка включительно;
если I € Яп, то 1а — 1а11а2—1а, ( = («1, —,а3), |о| = 5 - мультииндекс);
5),{г2} = {го : |ад — %и < р}, для го € Л", - шар в пространстве Лп с центром в го; С[0,Т] - пространство непрерывных функций на отрезке [0,Т];
С1[0,Т) - пространство непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке
В[0,Т] - пространство ограниченных на [0,Т] функций u(t) : [0,Т] —> Л1 с нормой
<€[0,7]
12,м(Е) - пространство Лебега А-мерных суммируемых с квадратом на множестве Е вектор-функдий с нормой

Loo,i{E) - пространство Лебега функций с нормой
11«I[со,i? = vrai sup |u(i)|;

W™n(E) - пространство Соболева, содержащее функции из L2,n{E), которые имеют обобщенные производные из Ь2(Е) до порядка m включительно, с нормой
X Є Q С Rn,t Е [О,Г];
öl (cvj,cs), |q| — s, D д I öxai,дхаа1
[О,ту,
IM0II = sup MOI;
В случае, если не все м>, ад,-, * = 0, т — 1, тождественно равны нулю возникают существенные трудности.
Приведем пример, когда мы можем гарантировать существование единственной положительной функции р, удовлетворяющей уравнению (1.4.2).
Рассмотрим случай, когда к = 1, а оператор /[и] является линейным. Тогда из выражения (1.3.10) следует, что
/М = /[*(1)] + /[*(2)]- (1-8.1)
Пусть оператор /[и] задан выражением типа (1.2.2) и имеет вид
/[и] = J 1(х)АийЕ, (1.8.2)

где 1{х) 6 £2,лг(И), И = И(ж), - матрица размерности N х N, компоненты которой являются измеримыми, ограниченными функциями в ограниченной области Е С П с кусочно-гладкой границей. Учитывая выражения (1.3.8), (1.3.11), получим, что
Ич 1)] = [ 1(х)АгщйЕ = 2 {1{х)Ау16Еехр{-). (1.8.3)
е ;=0 Е
Из выражений (1.3.8), (1.3.10), (1.3.12), (1.4.2с), (1.8.2) следует:
Pt = /№]] = У 1{х)Аг{х)<1Е -+ J 1(х)Аг(2) <1Е

= J 1(х)Агщ <1Е + 51(/рИ/(('г)ехр(-Л1( - т)) dт [ 1(х)Ау1<1Е). (1.8.4)
е *=° о в
— оо
Обозначим УУ{1,т) = И/’,-(т)ехр(—А,(£ — т)) / l{x)AvidE. Поменять порядок сум-
1=0 Е
мирования и интегрирования можно в силу существования значения
/№]] = / 1{х)Агтс1Е + £(/№) ехр(—Аг-(£ — т)) <1т ! l(x)Avi с1Е е 1=0 о е
(р = 1) и сильной сходимости ряда (1.3.5).
Переписывая уравнение (1.8.4) в новых обозначениях, имеем интегро-дифференциальное уравнение
Рг = У /(а-)Лгг(1) (1Е + J pW(t,т)dт (1.8.5)

с начальным условием р(0) = 1, причем 11(х)Агп dE - известная функция (см.

(1.8.3)). Функция 1И(£,т) непрерывна в треугольнике 0 < £ < Г, 0 < т < £; из [5]