Определение условий существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с матрицей при производных

• Автор: Лукьянова, Галина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 121 с.

Оглавление
Введение
ГЛАВА 1. Существование периодических решений систем дифференциальных уравнений с матрицей при производной
§1.1. Исследование свойств линейной части системы дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной
§1.2. Разбиение пространства на прямую сумму двух подпространств в случае выполнения первого и не выполнения второго условия теоремы
§1.3. Разбиение пространства на прямую сумму двух подпространств в случае выполнения второго условия теоремы
ГЛАВА 2. Поиск ненулевых решений нелинейных векторных уравнений
§2.1. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае неособенной матрицы
при первой производной
§2.2. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае нулевой матрицы при
первой производной
§2.3. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае особенной матрицы при
первой производной
ГЛАВА 3. Некоторые способы поиска ненулевых решений нелинейных векторных уравнений

§3.1. Поиск ненулевого решения нелинейного векторного уравнения с помощью определения собственных векторов переменных
матриц
§3.2. Выделение параметра для поиска ненулевого решения нелинейного векторного уравнения
§3.3. Приложение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу о существовании ненулевых периодических решений
систем дифференциальных уравнений
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производной и нелинейной правой частью. Предполагается, что матрица при производных постоянна. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых 2л -периодических решений рассматриваемых систем.
Решение данной проблемы имеет важное значение как для качественной теории дифференциальных уравнений, так и для исследования различных математических моделей. Системы дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных моделируют многие процессы в физике, химии, биологии, статистике и других науках [2, 15, 25, 37-38, 46-49, 57]. Системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных возникают при анализе линейных электрических цепей [8, 50], служат моделями в теории автоматического регулирования; поставщиком таких систем является также метод слабой аппроксимации [70] и метод сферических гармоник [39, 56].
Изучению ненулевых периодических решений посвящено много работ, но даже в случае неособенной матрицы при производных не существует общего подхода к решению поставленной задачи. В частности недостаточно исследована проблема ненулевых периодических решений автономных систем, когда матрица линейного приближения критическая или требуется знать свойства нелинейной части. В случае же сингулярных систем (систем с особенной матрицей при производных) даже существование решений в смысле классического определения остается под вопросом. Поэтому задача поиска условий существования ненулевых решений автономных систем, зависящих от параметра, с матрицей при про-

||x]|; < TJ в себя.
Покажем, что Z является сжимающим по х. Пусть [1x11 <77 и
II И/і
Цх <77. Тогда і(хЛ)~г(хЛ < |5-1||C(x',Z)-C(x",Z)l| +
+1В ' ||||£>(х', Л)- D(x', Л < Lx' - x"h, где L = |Я4 [ (f1 + ?( Учитывая выбор cr, получим, что L< 1. Таким образом, оператор Z удовлетворяет условию Липшица по х с постоянной Липшица L < 1. Поэтому оператор Z является сжимающим по х.
Так как /, - полное метрическое пространство, а оператор Z обладает выше перечисленными свойствами, то по принципу сжимающих отображений оператор Z определяет в области ||Z|| < сгя единственную
функцию x = x(l), такую, что ||x| <77. Отсюда следует, что х(л)= 0 для любого ||Z||RP <сгд, то есть для любого Л, 14, <етя, во множестве N (77)
существует только нулевое решение уравнения (1.12). Лемма доказана.
Решение уравнения (1,200) будем искать во множестве таких х, что х eN (77), в виде ха ~ Рха + ar+1hr+l +... + amhm, где а = со1оп(аг+1
У.=Р*в- (126)
Тогда уравнение (1.200) примет вид
уа=-В-'Р(с(уа +ar,1h„1+...+aJim,X)+D(ya +arJr+l +... + аткт,Л)У
Обозначим
C(ya,cc,X)=C(ya + ar+1hr+l+... + ccmhm,X) „ 2?)
D(ya, а, Л)= 0(уа + ar+lhr+1 +... + ahm, Л) l(ya,a, Л)- -В 'Р((С + Dya + ar+lhr+1 +... + ahm, Л)).
Уравнение (1,20о) примет вид