Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем

• Автор: Казакова, Татьяна Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 86 с.

Глава 1. Граничные условия, совместимые с уравнением нулевой кривизны
Глава 2. Конечномерные дискретные системы, интегрируемые в квадратурах
§ 2.1. Конечномерные редукции и интегралы движения
§ 2.2. Дифференциально-разностные симметрии
§ 2.3. Мастер-симметрии и уравнение нулевой кривизны
§ 2.4. Теорема об интегрировании конечномерных дискретных систем
Глава 3. Дискретные уравнения Пенлеве
Заключение
Литература

В современной теории динамических систем важную роль играют интегрируемые дискретные системы, т. е. системы временная динамика которых описывается разностными или дифференциально-разностными уравнениями, допускающими точные методы решения. Дискретные уравнения имеют многочисленные приложения в различных областях науки. Они возникают при описании нелинейных феноменов различной природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т. д.), а также как разностные приближения дифференциальных уравнений и как последовательности преобразований Бэклунда.
Развитие аналитических методов исследования интегрируемых дискретных систем существенно отстает от аналогичной теории дифференциальных уравнений. Применение разностных уравнений чаще всего ограничивается рамками численного анализа дифференциальных уравнений и изучением хаоса и фракталов. Между тем, дискретные уравнения, в некотором смысле, можно рассматривать как обобщение дифференциальных. Следует отметить, что в последнее десятилетие ситуация несколько изменилась. Значительно расширились сфера применения и методы исследования дискретных систем. Появилось большое количество работ посвященных изучению симметрий и законов сохранения дискретных систем [32, 46, 65, 77], дискретных аналогов преобразований Дарбу [82, 83, 93] и инвариантов Лапласа [2], дискретных уравнений типа Пенлеве [58, 89, 91, 92], клеточных автоматов [56, 98], дискретной геометрии [8, 50, 71], применения дискретных систем в статистической и квантовой физике [19, 73, 87, 45, 55], математической биологии [39] и т. д. Отдельной строкой можно выделить серию работ, в которых рассматриваются проблемы поиска интегрируемых разностных аналогов солитонных уравнений и классификации дискретных систем.
Примеры дифференциально-разностных цепочек появились еще в кон-

це XIX века в работах Г. Дарбу [48]. В современном контексте интегрируемая модель на решетке впервые была рассмотрена в работе М. Тоды [95]. Цепочка Тоды
qn,xx = е**1"* - е5"“«'*-1 (0.1)
описывает ангармонические колебания одномерной кристаллической решетки. Полная интегрируемость системы (0.1) в случае п частиц доказана С.В. Манаковым [24] и Г. Флашкой [53, 54], которые для построения точного решения применили метод обратной задачи. Обобщенные цепочки Тоды, связанные с системами корней произвольной простой алгебры Ли, были введены в [42] О.И. Богоявленским. После этого с помощью методов теории групп уравнения движения для непериодического случая были проинтегрированы М.А. Олыданецким, А.М. Переломовым [86] и Б. Костантом [72]. Уравнения движения периодичекой цепочки Тоды были сведены к квадратурам в работе М. Каца и П. ван Мербеке [68] и проинтегрированы в тета-функциях методами алгебраической геометрии И.М. Кричевером [20]. Метод, основанный на применении обратной спектральной задачи для классических якоби-евых матриц, предложен Ю.М. Березанским для интегрирования полубес-конечных систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений [6]. Этот метод был применен также при изучении неабелева аналога цепочки Тоды [7]. Ранее уравнения неабелевой цепочки Тоды исследовались в [21], где были найдены явные формулы для периодических решений, и в [44], где применялась обратная задача рассеяния. А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым были получены явные решения для двумеризованной цепочки Тоды
qn,xt = eî"-1“î" - е9»-«»+*
в терминах теории представлений алгебр и групп Ли [23]. Следует сказать, что альтернативный способ интегрирования серий Ап, Вп и Сп предложен еще в работах Г. Дарбу [48]. Отметим также несколько более поздних работ, посвященных исследованию цепочки Тоды [35, 22, 75, 74, 69].

Далее из уравнений
ТтР-] = / , Г"1 РхЧ, ^2-;-, Ят,-] )
последовательно находим
9т,-3 — (9го,1) 9т—1,1) Зт,«+.?')> 3 ~ 2,
Будем называть граничное условие (2.20) вырожденным, если <9/(3пг,0) Зга—1,0? Ят,1: Ят,—1)
а 1«т,о=-Р ~~ *-*•

Очевидно, что вырожденное граничное условие нельзя продолжить, однако, оно полностью замыкает цепочку на полуоси п > 0. Более того, коммутирующие цепочки (2.10) и (2.16) после обрыва с помощью вырожденного граничного условия остаются коммутирующими.
Действительно, поскольку граничное условие (2.20) вырождено, то переменные Ят~ 1, Ят-,-1,9т,-2) Ят-1,-2; можно считать независимыми. Запи-шем условие коммутирования (2.17) потоков, задаваемых уравнениями (2.10) и (2.16) в точке п
<9Л г, , ^ , <9Л , а/1 гл_1 д/г
ЩР) + х-—91 + «- Гт +
%п,о 5дгад дят-1,1 т дят,‘>
~ Дп31 = 51 (?т+1,—Чт,—к1 Зга+1Д) 9т,к) ■
Здесь нижний индекс у функций /из обозначает сдвиг по п. Заметим, что левая часть последнего равенства не зависит от переменной дт|_д._1, следовательно, функция Ттдх не зависит ОТ Ят+1,-к = /(Ят,-к, ^га-Ц-Ь 9т,1-*? 9т:-*-1), т. е. функция 31 не зависит от зто Повторяя рассуждения для дт,-г, Ят-1,—г, г = 1 Дг — 1, получим, что правая часть уравнения
^Ят,1 /
^ — 9Ят,1-к-, 9т—1,1—^ 1 •••) 9т, 1+&) 9т—1,1+к)
при выполнении условия (2.20) зависит ТОЛЬКО ОТ переменных Зго,Ь(Ьг-1,Ъ Ят,2, ?т—1,2) •■■■ Аналогично можно показать, что остальные уравнения цепочки (2.16) ДЛЯ гг > 0 не зависят ОТ переменных Ят,-г,Ят-х,—*,* = 1) ••■) Л.