Одномерный оператор Шредингера с сингулярным потенциалом

• Автор: Денисов, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Равносходимость с интегралом Фурье спектральных разложений для; одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом
§1. Оценка приращения спектральной функции на диагонали
§2. Доказательство вспомогательных утверждений
§3. Равносходимость с интегралом Фурье спектральных разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом
Глава 2. Изучение областей определения степеней одномерного оператора Шредингера с равномерно локально суммируемым потенциалом
Глава 3. Изучение асимптотического ряда для проекторов в случае оператора Шредингера с суммируемым потенциалом
§1. Получение асимптотического ряда для проекторов и исследование его сходимости
§2. Дальнейшее исследование асимптотического ряда в некоторых
конкретных случаях
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

Введение.
Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам спектральной теории дифференциальных операторов. Основным объектом исследования является одномерный оператор Шредингера. Как известно, уравнение Шредингера описывает многие явления в квантовой механике, что явилось причиной бурного развития как абстрактной теории самосопряженных операторов, так и спектральной теории дифференциальных операторов специального вида.
В настоящей работе рассматриваются вопросы сходимости и равносходимости спектральных разложений, доказывается оценка приращения на диагонали спектральной функции оператора Шредингера. Для оператора с суммируемым на всей прямой потенциалом изучена сходимость асимптотического ряда для проекторов специального вида. Подобного типа вопросы изучались и ранее. Необходимо упомянуть здесь работы многих известных математиков: В.А.Ильина, А.Г.Костюченко, Б.М.Левитана, М.А.Шубина и других.
В диссертации рассматривается оператор Шредингера на всей оси с вещественным потенциалом д(х)
В первой и второй главе изучается оператор с потенциалом, принадлежащим классу 1/1ОС;ищг(Д), то есть являющимся равномерно локально суммируемой функцией. Это означает выполнение следующей оценки

\qlK = эир / |д(ж)|сЯ < оо. (1)
2/Є-Й у

Квадратичная форма Ь(и), порожденная дифференциальным выражением 1(и) имеет вид

Д(у) = J (У (ж)) + д(ж)«(ж)"

Возмущение д(ж) является подчиненным со сколь угодно малой верхней гранью в смысле квадратичных форм. Это означает, что для любого числа є > 0 найдется С (є), такое что
00 ОО ОО
1 |д(ж)|и(х)2сІх<є ! (и (ж)) йх + С{е) І (и(х))2 йх,
—оо —оо —оо
где неравенство выполняется для всех функций и(х) Є (Доказательство этого факта содержится в книге [1] с.17. ) Это означает, что на основании теоремы 10.17 с.190 [2], мы можем построить самосопряженный оператор Я, который будет отвечать квадратичной форме Ь(и), то есть для любой функции и из области определения оператора Я (и Є Т>(Н)) выполнено равенство (Ни, и) = Ь(и). Известно, что Я, построенный таким образом, полуограничен снизу некоторым числом Ао. Кроме того, пространство допускает упорядоченное спектральное представление
относительно оператора Я. Это означает выполнение некоторого аналога теоремы Планшереля для интегралов Фурье (см., например [3],[4] ). А именно,
1. Существуют непересекающиеся измеримые множества Aj, j
1... т, такие что и Ду = о"(Я) , где сг(Я) ~ спектр опера-

тора Я.
ГЛАВА 3.
ИЗУЧЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЯДА ДЛЯ ПРОЕКТОРОВ В СЛУЧАЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ.
Пусть Н самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением 1{и) = —и + qu, где q[x) - вещественная функция из класса Ь. Спектр оператора Н обладает следующими свойствами:
- существенный спектр заполняет полуось aess = [0,+00);
- дискретный спектр представляет собой не более чем счетное множество точек, лежащих на отрезке [Ао, 0];
- собственные числа на интервале (0, ос) отсутствуют;
- кратность спектра равна двум.
Введем спектральные разложения для функции / по формулам

<4 Ос Л = Е/ fi{t)ui(x, t)dp(t), п д (ж,/) = Е/ fj(t) Uj (X,t)dp (t), i=1A0
(25)
fj(t) - обычные образы Фурье функции /.
§1. Получение асимптотического ряда для проекторов и исследование его сходности.
Рассмотрим функцию / Є Гг, такую что -Р[а0,о]/ — 0. Легко видеть, что устремляя в теореме 1.2. (формулы (18),(19) ) из параграфа 3 первой главы величину R к бесконечности (А при этом фиксировано ), мы получаем следующее представление для проекторов