Обобщенная задача Неймана для параболических уравнений второго порядка в областях с негладкой границей

• Автор: Алиев, Рамиз Джалалович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 139 c. : ил

Глава I. Фундаментальные решения и параболические

потенциалы

§ 1.1. Свойства потенциалов Пуассона и Вейерштрасса

в областях с негладкой границей

§ 1.2. Свойства объемных потенциалов

§ 1.3. Построение фундаментальных решений

§ 1.4. Потенциалы простого слоя, порожденные фундаментальными решениями

Глава II. Обобщенная задача Неймана в цилиндрических

областях

§ 2.1. Обобщенное решение. Сведение краевой задачи к

интегральным уравнениям

§2.2. Существование обобщенного решения
§ 2.3. Теорема о слабой конормальной производной и
единственность решения краевой задачи
§ 2.4. Внешняя задача Неймана
Глава III. Обобщенная задача Неймана в нецилиндрических
областях
§3.1. Допустимые области и фундаментальные решения
§ 3.2. Разрешимость и единственность решения краевой
задачи
Литература

Пусть О - ограниченная область с границей 3 , легч П»
жащая в И ~ мерном евклидовом пространстве х точек рс —(эс, -Хи п. £-2. Рассмотрим в цилиндрической об4 Ь* II
ласти О Ш Э*Со.ТЗ вторую краевую задачу
а°и) схЦ)й

+с(а:аЪ и(х,Ъ - 'М&Й =: /(х, Ь , С*, Ь €1) ; ыСхло)—]иш , зс&В; >(1)
(осД) € Э х(о9Т] ;
"ъЖэсД)
где матрица А(хД)=(а.к(хД)) равномерно положительно определена в Х)^. . коэффициенты ^С^Ъ, С(бс,1)
ограничены по модулю, С(Х,Ъ^ О ,а означает производную по направлению внутренней конормали, опреде -ляемой матрицей А сзсэЪ.
^ />1^+С0
Хорошо известно, что если О граница класса
а{к(х,ъ, Едх,ъ> ссхД) а,к*£л), /■
удовлетворяют равномерному условию Дини в *^Т ’ а
и _ непрерывны, то задача (I) имеет единственное
классическое решение (, [ц[73 , [29] , [зо] , [ 5зJ } [бв]).
Если же отбросить требование гладкости границы 3 и
допустить наличие точек, в которых отсутствует классическая

нормаль, то, вообще говоря, неясно, что понимать под решением задачи (I). В настоящее время нам известно несколько подходов к пониманию решения указанной задачи. Первый из них, восходящий к работам И.Племеля < 1>]) и И.Радона ( И • 1>Ф < см. также [42]) и относящийся к решению задачи Неймана для уравне -ния Лапласа в плоской области с негладкой границей ,5 .заключается в следующем: кривая 3 аппроксимируется изнутри последовательностью гладких кривых 3-, > при этом принятие
Н1»
граничного условия понимается в смысле
где ф еССЩ
Вт Б
X - некоторая функция с ограниченным изменением. Показано, что кривая Э должна быть кривой Радона.
Второй подход заключается в том, что точки 3 , в ко -
торых отсутствует классическая нормаль, не являются носителями данных Неймана. В остальных же точках конормальная производная понимается в обычном смысле ( [ю] , [13] , [го] ,[27] , [46] , [47] ). При этом, если "количество плохих" точек невелико ( то есть соответствующая мера Хаусдорфа равна нулю), то решение задачи единственно ( [28] , [зг] , [зз],
[34] ).
И, наконец, третий подход основан на том, что на границе 3 задается некоторое непрерывное поле направлений, подчи -ненных ряду равномерных относительно 5 условий, заменяющее в формулировке задачи Неймана поле конормалей ( [Зб] , [37]). Естественно, что вблизи "плохих" точек указанное поле не может совпадать с полем конормалей, но при таком подходе, теорема един-

Из теоремы 1.2.3, непосредственно следуют следующие утверждения.
Теорема 1.2.4 С [з] , [53] ) . В условиях теоремы 1.2
производная 'Ъ (У°{)(^Х>0Г) существует и непрерывна для
^>1:
сх,Ъ е От при этом справедливы равенство
■*2». Й
и неравенство, аналогичное (1.2.11).
Теорема 1.2.5 (СЗ] ,[53] ) . В условиях теоремы 1.2.3, по -тенциал для (эе,Ъ є От удовлетворяет
уравнению
і,3=1 n>Xi~bXj
=- fob - DST gj
Докажем следующее утверждение. В
Теорема 1.2.6 ([3] ). а) Если функция f непрерывна в D , область Q неограничена, V t £ [0,Т]
lim f(*3b = , km o. .. (x,t)= afj- < °°>
lai-voo )dc/ ->o° J
ТО при (xl -> «*=> ,
(V«DCa,tsDT)
б) Если l fl < 00 ? область О - ограничена,
то для произвольного t є[о,Т], (Vof)f*.tjDr)=to.
1ЭС1-*
Доказательство. Утверждение а) следует из оценки