Многомерная обратная задача рассеяния и приложения

• Автор: Новиков, Роман Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 236 с.

Российская Академия наук Международный Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики
МНОГОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
(01.01.02 - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)
ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
НОВИКОВ Роман Геннадьевич
Москва 1998

Содержание.
Часть I.
1. Резюме
2. Введение. Постановки задач. Основные результаты
Часть II.
1. д - уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния
2. Многомерная обратная спектральная задача для уравнения
— + (и(я) — Еи(х))ф
3. Обратная задача рассеяния при фиксированной энергии для трехмерного уравнения Шредингера с экспоненциально убывающим потенциалом
4. В- метод с ненулевым опорным потенциалом. Приложение к обратной задаче рассеяния для двумерного акустического уравнения
5. Обратная задача рассеяния на фиксированном уровне энергии для двумерного оператора Шредингера
6. Прозрачные потенциалы при фиксированной энергии в размерности два. Дисперсионные соотношения при фиксированной энергии для быстро убывающих потенциалов
7. Точные решения уравнений типа Кортевега-де Фриза в размерности 2+1...220 Список литературы

Часть I.
гиях больше Е по формулам (1.18) и (1.19). Положим далее
IIÆvlÜB) = SUP 1(1 + 1 Р 1)А Z?§,p/fv(Æ, р)|;
Са м°е
II Я II (B, = suPl (1+1 Р 1)Аг, рH(z, р) |.
СА> МЕ
Теорема 1.6 ( [?&). Фиксируем Е > 0. Пусть потенциал
v(x), х Ç Кп, п 3 имеет достаточно малую норму в классе as п 4- 1, В п 4- 1. Тогда соответствующие и(х) в силу (1.20) данные рассеяния H(z, р) на МЕ и Н..(х р) на М°Е допускают оценку вида
Il !| (в) + II Я || ,е, =0(\v II (а)), А = а—0, р=5-л-0,
СА СА СВ
абладают свойством согласования (1.28) и удовлетворяют уравнениям вида
(1.29) р)) = -я J (ш.|)Я(2, -с)х
х Н (2 4- Ç, р +1) б (Н2 4- 2zl) dl,
где w£Cn: w-z=w-p = 0.
(1.30) (т,~(,, р))=-д J (Г).9Я,(І, -ç)x
ser"
xtfY(x4-і, р4-1)б(?2 + 2х|)0(у.|),
где ri g IR17 : r)-y = T].p=0.
Обратно, если функции И.,(х, р) и H(z, р) имеют достаточно малые нормы в пространствах CÎ? (Me) и Cf (МЕ) соответственно, Л л 4- 1, Р п 4- Î и обладают свойствами (1.28) — (1.30), то существует и притом единственный потенциал v(x) класса С(Е а — А — п — 0, В — $ — 0 такой, что при любом фиксированном р имеем
(1.31) и (р) = limН (г, р)
2-*-СО
и функции H(z, р) и Ну(х, р) выражаются через и(х) по формуле (1.20). Свойства (1.28), (1.29) позволяют при п — 3 выразить потенциал v(x) через данные рассеяния H(z, р) по формуле
(1.32) v(p)=H(zQ, р) 4- j дН Д Кр (£, г0) +
?емЕ, р
4- J (Я(14-Ю((рхШ. р)-Я(5—іОЦрхб», р)) AJf,(6, 20),
5єзме
где МЕ,р = {£: (|, р) б МЕ}, д0 б МЕ, р; Яр(|, г) — ядро Коши на многообразии МЕ, р, имеющее вид
KV (ё. *) т А (1, J dit л д æ3.
Отметим, что в случае Я = 0 функция H(z, р) имеет предел lim H(z, р) = Н(0, р), z б М0, не зависящий от у — Im zJ| Im z |, и no-
Im z-0
тому в этом случае, разобранном независимо в [S 1, данные рассеяния состоят только из одной функции H(z, р) на уровне г'- = 0, 2zp = ps.
Теорема 1.6 позволяет распространить на многомерный случай результат работы (6?) о единственности восстановления двумерного оператора Шрё-