Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений

• Автор: Ашурбеков, Казим Джафарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 72 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. СВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА К СИСТЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Постановка задачи и вспомогательные построения
§ 2. Решение соответствующей спектральной задачи
§ 3. Асимптотика С(хДД). Формула интегрального представления произвольной вектор-функции
§ 4. Сведение задачи (1.1)-(1.3) к системе интегро-
дифференциальных уравнений
§5. Система интегральных уравнений
Глава И. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 1. Получение подходящего представления матрицы Грина
§ 2. Приведение системы (1.39) к стандартному виду
§ 3. Существование и единственность решения
системы (2.13)-(2.15)
§ 4. Существование и единственность решения исходной
задачи (1.1)-(1.3)
§5. Задача колебания конечной струны
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Как хорошо известно, метод Фурье является удобным и наиболее распространенным и мощным инструментом исследования смешанных задач математической физики.
Впервые строгое обоснование метод Фурье получил в работах В.А.Стеклова [28]. Для многомерной смешанной задачи д2и(х, ?)

+ 8и{х,?) = /(хд),
где 5 - положительный, самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением

+с(х)и
к,1=1 ОХ1 охк
и краевым условием Дирихле или Неймана, метод Фурье обоснован
О.А.Ладыженской [22-24]. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных смешанных задач гиперболического типа в случае разделения переменных получены В.А.Ильиным [16].
Многие важные классы смешанных задач для дифференциальных уравнений с частными производными можно трактовать как задачу Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых или гильбертовых пространствах [12]. Операторные уравнения второго порядка по I довольно общего вида изучались О.А.Ладыженской, М.И.Вишиком [11], Т.Като, М.А.Красносельским, С.Г.Крейном, Ю.Л.Далецким, П.Е.Соболевским и др.; подробную библиографию см. в [21].
Для случая несамосопряженного оператора обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функции в ряды по главным функциям дифференциальных операторов и

пучков. Этими вопросами занимались М.В.Келдыш, В.А.Ильин, В.Б.Лидский, А.Г.Костюченко, А.П.Хромов, Ш.А.Алимов,
А.А.Шкаликов, А.И.Вагабов, М.Г.Гасымов и др.
Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяютцимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются неизвестные коэффициенты разложения.
Впервые метод Фурье к уравнению с неразделяющимися переменными применил С.Н. Бернштейн [7], рассмотревший смешанную задачу для одного нелинейного уравнения гиперболического типа.
Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах
З.И.Халилова [31, 32], К.М.Мамедова [26], Ю.Ф.Коробейника [18-20],
А.В.Дедушева [15], рассматривавших линейные уравнения с неразделяющимися переменными.
С другой стороны, появилась большая серия работ [13-14], [25], [29], в которых этот же метод распространяли на решение квазилинейных смешанных задач. В этой связи отметим другую серию интересных работ [1], [34-36] и др., относящихся к широким классам нелинейных смешанных задач и опирающихся на методы априорных оценок.
Существенное развитие обобщенный метод Фурье получил в работе А.И.Вагабова [9], относящейся к случаю нелинейного гиперболического и параболического уравнений. В ней, с одной стороны, старшая линейная часть задачи не допускает разделения переменных. С другой - решение задачи сводится не к бесконечной системе дифференциальных уравнений, как это было при традиционном методе, а к простой системе из двух или трех интегральных уравнений.

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
$ 1. Получение подходящего представления матрицы Грина
Рассмотрим матрицу {С/иг}", (см. (1.20), (1.23), (1.30)) и совершим ряд алгебраических преобразований ее элементов, для последующего решения системы (1.39).

<ркх

1А(1) ’’
(2.1)
8?,п+т{х)

(2.2)
Мк{х-Ь)
к=п+1
где М1к и {М 1 п+т - элементы соответственно матриц М и М 1.
Воспользуемся полиномиальной формулой
{а1 +а2 +... + ак)п = ]Г
. Г, /
Г1+...+Гк=П г 1 П'
г, ! г
=И ' ! ' к-

ак ... ак ,