Уравнения плавного перехода и некоторые их приложения

• Автор: Лукьяненко, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 141 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛАВНОГО ПЕРЕХОДА

§ I. Краевая задача Карлемана для полосы ос<Зтх.<р Ю

§ 2. Уравнение плавного перехода в пространствах

обобщенных функций

§ 3. Интегральное уравнение плавного перехода в

пространстве | сх, &

§ 4. Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения

Глава II. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЛАВНОГО ПЕРЕХОДА § 5. Дифференциально-разностное уравнение типа

плавного перехода

§ 6. Приложения к задачам математической физики

§ 7. Обобщенная краевая задача Карлемана со сдвигом в область аналитичнсоти
ЛИТЕРАТУРА

Одним из важных классов интегральных уравнений являются уравнения типа свертки. Интерес к ним вызван многочисленными приложениями в краевых задачах математической физики, теории упругости, теории волноводов [8, 5, 41, 15].
Ю.И. Черский ввел и рассмотрел [57] уравнение плавного перехода f
U(t) +-)^jkitt-sWs>c{s - № +
-об
+ e~t|u(t)+i^= jli2(t-S)UCS)d£ - 9^)} = О , -oo<-fc < ОО

В предположении, ЧТО 1г.-!(t) , k2(i) 6 ЦСИО, g(i) е ЦЖ). Уравнение (I) является уравнением типа свертки с переменными коэффициентами, наиболее близким к парному уравнению. В отличие от уравнений Винера-Хопфа, парного интегрального уравнения [29, 8, II] уравнение (I) не имеет явно выраженной точки раздела двух условий. С помощью преобразования Фурье Ю.И.Чер-ский свел уравнение (I) к краевой задаче Карлемана для полосы, которая с помощью специальной склеивающей функции приводится к краевой задаче Римана на полуоси. При выполнении условий нормальной разрешимости

1 + Kj(oc)* о, Kj. (х) = -4г Jkjtoeibcat, j= l.z (2)
f JI

число решений и условий разрешимости уравнения (I) находится по формулам
L = тасс(0,эе) , р = тах (0,- эе) t

* = £5W1+ K2(3b)]L"2я(аг3[1+ ,
а решение (I) строится в квадратурах. Условия нормальной разрешимости (I) получены Л.С. Раковщиком [46]. Следуя методу Ю.И. Черского, Фан Танг Да [52] рассмотрел ряд других уравнений типа плавного перехода, которые приводятся к задачам Кар-лемана или, к так называемым, площадным задачам со сдвигом. Аналогичная задача исследуется в работе Н.К. Карапетянца,
С.Г. Самко [20] и применяется к интегральным уравнениям с однородными ядрами. Спектральные свойства оператора, отвечающего площадной задаче Карлемана, исследовал В.В. Шевчик [64]. Решение уравнений типа плавного перехода или соответствующих им задач Карлемана нашло применение в ряде задач математической физики для клиновидных областей. К одной задаче теплопроводности эти применения были даны Л.Я Тихоненко [51], к контактным задачам теории упругости - Г.Я. Поповым, Л.Я Тихоненко [43], Б.М. Цуллером [42]. В монографии Ф.Д. Гахова, Ю.И. Черского [8], имеющей основополагающее значение, выделен класс задач математической физики, содержащих экспоненту в краевом условии, которые приводят к решению задачи Карлемана. Даны примеры приближенного решения этих задач. Ряд задач математической физики, сводящихся к обобщенному функциональному уравнению Карлемана со сдвигом во внутрь области аналитичности, исследуется в работах Н.Л. Василевского, A.A. Карелина, П.В. Керекеши, Г.С. Литвинчука [3, 4], A.A. Карелина, П.В. Кереке-ши [21] сведением к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом, находятся условия нетеровости и форцула для индекса. Современное состояние развития теории сингулярных уравнений со сдвигом отражено в монографии Г.С. Литвинчука [33],там же содержится подробная библиография.

А1(±<>°) = 1 , такая, что функции
^ Аі^і) є Н|ц(іЮ, к-о, і т} (2.22)
то есть удовлетворяют условию Гельдера на всей вещественной оси. (Пространство функций, удовлетворяющих условиям (2.22), будем обозначать через (Ж) ). Требуется найти функции (I) , представимые интегралом типа Коши с плотностью из
'ЛС(!Ю
1 Г 0,(х)6х 2711
~оо
удовлетворяющие краевому условию (1.17).
Приш=о решение этой задачи известно £7], [8], в зависимости от эе= Спс1 Д^) определяется формулами (1.21) пункта
1.2 и условиями разрешенности (1.23). Эти же результаты будут справедливы и при т
Лемма 2.1. Функция М(|)
удовлетворяет условиям (2.22), то есть И^еС1*1 СЮ » кроме того, М(*<») = 0•

Обозначим выражение в квадратных скобках через у(1) , то есть М{§") ~ Си у(§) и воспользуемся формулой для производной сложной функции
с*|к
здесь первый сомножитель [у (5)]"^ Н^ОЯ). Так как
то для доказательства леммы достаточно показать, что