Обобщенно эллиптические операторы и задачи математической физики

• Автор: Сакс, Ромэн Семенович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 320 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Содержание
Введение
Глава 1. Обобщенно эллиптические псевдо-дифференциальные операторы на замкнутом многообразии
§ 1. Класс el{X) эллиптических ПДО на многообразии X и класс EL(X) эллиптических ПДО, действующих между сечениями векторных расслоений над X
§ 2. Класс EFL(U) операторов, допускающих эллиптическую в JJ факторизацию доминантной
части
§ 3. Класс GEL(X) обобщенно эллиптических ПДО
§ 4. Класс REL(U) операторов, приводимых к локально эллиптическим ПДО
§ 5. Класс REL(X) операторов, приводимых к локально эллиптическому виду повсеместно на
Т'(Х)
§ 6. Разрешимость обобщенно эллиптических уравнений
Глава 2. Обобщенно эллиптические краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений
§ 1. Эллиптические краевые задачи
§ 2. Обобщенно эллиптические краевые задачи

Typeset by
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 3. Обобщенно эллиптические системы дифференциальных уравнений и их свойства
§ 1. Определение обобщенной эллиптичности дифференциального оператора
§ 2. Гипоэллиптичность слабо эллиптического оператора
§ 3. Алгебра операторов Грина
§ 4. Краевые задачи для обобщенно эллиптических
систем
Глава 4. Нетерово разрешимые краевые задачи для некоторых стационарных систем уравнений математической физики
§ 1. Краевые задачи для систем уравнений, главная
часть которых совпадает с оператором ротора... 246 § 2. Краевые задачи для стационарных систем ура-
нений Максвелла и кристаллооптики
§ 3. Краевые задачи для системы уравнений Стокса
§ 4. Краевые задачи для системы уравнений акустики
§ 5. Краевые задачи для системы уравнений Соболева
Библиография
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена изучению класса систем псевдодифференциальных уравнений, которые мы называем обобщенно эллиптическими системами (операторы из этого класса мы обозначаем СЕЬ(Х)). Этот класс выделен в классе Ь(Х,Е,Е) классических ПДО. Он включает в себя системы дифференциальных уравнений эллиптические по Петровскому, системы эллиптические по Даглису-Ниренбергу, равномерно неэллиптические системы (или приводимые к эллиптическим, в смысле Б. Р. Вайнберга и В. В. Грушина [1]), а также композиции систем этих классов. Класс ОЕЬ(Х) был выделен нами в работе [27] и исследован в работах [28,29,42,43]. В главе .1 мы даем определение этого класса и доказываем ряд важных его свойств: инвариантность относительно линейных невырожденных преобразований уравнений и зависимых переменных, относительно композиций операторов системы, а также взятия па-раметрикса, кроме того, доказывается независимость обобщенно эллиптической системы от выбора весовых порядков. Далее мы изучаем разрешимость о. э. системы псевдодифференциальных уравнений на многообразии без края в функциональных пространствах, которые строятся на базе пространств С. Л. Соболева, соответствующих заданным весам (мы их будем называть пространствами Соболева).
Одним из основных результатов главы 1 является теорема о том, что на многообразии без края обобщенная эллиптичность системы псевдодифференциальных уравнений достаточна, и, в некоторых случаях, необходима для ее нетеровой разрешимости в указанных выше пространствах.
Турезе! Ьу ДМ5-ТеХ
ВВЕДЕНИЕ

в частности, при /1 = 12 = V (см. В. А. Солонников [2]). Оно
выполняется также, если на Г заданы касательная составляющая
вектора и и нормальная составляющая вектора и2:
(щ)гг = 9т, У-и2т=д2, 9т V = 0, (83)
или если заданы условия М. Л. Леонтовича [1]:
[{и2)т - а(и 1 х н)]г = (д х н)г, (84)
или для задачи из работы Шульденбергера, Вилькокса [1]:
{и х их - х м2)|г = дт, дт-у = О,
V (Лих + и2)г — д2, А ф ±i.
Здесь ”х” обозначает векторное произведение.
Условие (81) выполняется также для краевой задачи:
(к + спЫ«1 + с12(У)и2)г = р1,
' ЖГ + С2141 + С22(у)2)г = 92:
(85)
(86)
если действительные векторы к(у) нигде на Г не выходят в касательную плоскость Д и ф 0, 3 — 1
к = "
Задаче (77), (80) соответствует ограниченный оператор в пространствах:
/ Л
Л:= „ )-.Нк+1(0) е , кк0, (87)
вг1 Я*-‘-4(Г)
где пространство Я ((7) состоит из таких векторов Д, /2 £ Нк(С), что сНу Д и сИу /2 также принадлежит Яfc(G?).
Отметим, что Я+Т(С) С ЯД (С) с Я*((2).
Имеет место следующая