Поведение показателей Ляпунова линейных систем при малых возмущениях

• Автор: Дементьев, Юрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

Содержание
Введение

§1. Формулировки основных результатов

§2. Используемые обозначения

Глава I. Бесконечно малые возмущения

§3. Определения и свойства

§4. Вспомогательные утверждения

§5. Подвижность старшего показателя

§6. Подвижность младших показателей

§7. Основные утверждения

Глава II. Частичные пределы показателей Ляпунова

§8. Множество частичных пределов
§9. Достижимость частичных пределов на гладких кривых в окрестности данного уравнения
Глава III. Уравнения, зависящие от параметра
§10. Ступенчатая зависимость от параметра показателей Ляпунова
и свойства правильности
§11. Классы Бэра старшего показателя Ляпунова уравнения, линейно зависящего от параметра
Список литературы

Введение
Одним из главных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А. М. Ляпуновым [18] в связи с изучением устойчивости по первому приближению.
Каждая система, состоящая из п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая п-мерным уравнением, имеет п показателей Ляпунова [2, 13], занумерованных в порядке нестрогого возрастания. Если старший (п-й) показатель Ляпунова отрицателен, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво, если положителен, то нулевое решение неустойчиво. Аналогично, г-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г-мерного подпространства.
В обширных библиографических обзорах Н. А. Изобова [14, 16] отражено интенсивное развитие теории линейных систем, которое привело к созданию ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость.
Из результатов работы О. Перрона [39] следует, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве п-мерных уравнений с равномерной на положительной полуоси нормой, имеет точки разрыва. Вследствие этого в теории характеристических показателей появилось направление, состоящее в исследовании устойчивости показателей Ляпунова при малых возмущениях коэффициентов уравнения.
Р. Э. Виноградом были введены верхний и нижний центральные показатели [4], ограничивающие соответственно сверху и снизу подвижность показателей Ляпунова при малых возмущениях. В. М. Миллионщиковым с помощью разработанного им метода поворотов [21, 22] было установлено [22], что эти границы подвижности являются точными. Для каждого г = 1,... , п нижняя и верхняя границы подвижности г-го показателя Ляпунова называются соответственно минимальным и максимальным г-ми показателями.

Минимальные и максимальные показатели отвечают за стабилизиру-емость и дестабилизируемость уравнения. Например, если минимальный старший показатель неположителен, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, то есть в сколь угодно малой (в смысле равномерной топологии) окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же минимальный старший показатель положителен, то уравнение не стабилизируемо такими возмущениями. С другой стороны, если максимальный старший показатель уравнения неотрицателен, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицателен - - не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют минимальные и максимальные показатели остальных показателей Ляпунова.
Из результатов работ Р. Э. Винограда [4] и В. М. Миллионшикова [22] следует, что минимальный младший показатель совпадает с нижним центральным, а максимальный старший — с верхним центральным показателями уравнения.
В работе И. Н. Сергеева [37] показано, что множеством частичных пределов младшего показателя Ляпунова является множество всех значений, заключенных между минимальным и максимальным младшими показателями.
В теории показателей Ляпунова наряду с равномерно малыми возмущениями рассматриваются еще и бесконечно малые возмущения, то есть убывающие к нулю при неограниченном увеличении времени. Известно [2, 30, 31], что все минимальные и максимальные (следовательно, и центральные) показатели не меняются при бесконечно малых возмущениях. С точки зрения показателей Ляпунова любое бесконечно малое возмущение можно считать сколь угодно малым, но сколь угодно малое возмущение нельзя считать бесконечно малым. И. Н. Сергеевым установлено [29, 31, 32, 38], что во множестве бесконечно малых возмущений достижимы все максимальные, а также первый и второй минимальные показатели.
Другим направлением в теории показателей Ляпунова, начало которому положил В. М. Миллионщиков, является использование классификации Бэра разрывных функций [3, 24]. В. М. Миллионщиков доказал [23], что показатели Ляпунова, рассматриваемые как функционалы на пространстве

поэтому существует такое ЧИСЛО VB £ [0; 1], ЧТО x(vg) = р. Для ЭТОГО ив положим B(t) = AVB(t) для всех t. Уравнение В из условия леммы построено.
Теперь проверим выполнение условий леммы. Было показано (см. неравенства (5.16)), что д(А, А„) ^ е для любого и £ [0; 1], следовательно,
д(А, В) = д(А. AVB) < е.
Уравнение А не менялось вне отрезка [т — 1; rm_i] С щЬз], поэтому A(t) = B(t) при t £ 13].
В силу условия (5.20) и выбора числа ив имеем
sup supxoOr) = sup sup Хо(*) = = #*•
x€E(B) t^t2 xeE(B) ^€[*2!^зЗ
Лемма 5.2 доказана.
Лемма 5.3. Для любого уравнения А £ Мп, удовлетворяющего условию А„(А) < Г2(Л), и для любого числа р £ (А„(Д); fi(A)) существует уравнение В £ В(А), у которого Ап(В) = At-
Доказательство. Пусть задано число р £ (А„(Д); 12(A)). Зафиксируем произвольное е > 0. Так как А„(А) < р, то по лемме 4.13 (для i = п) существует б; > 0, для которого
sup sup Xo(sp) < p. (5.23)
xeE(A) t^tо
На участке f £ Jo = [0; to) будем считать B(t) В A(t).
Для остальных значений t построим уравнение В индукцией по номеру к (А: = 1,2,...) неких участков времени Д так, чтобы для некоторых чисел Д. и уравнений Ak выполнялись условия:
sup ||А(2) - A*(t)|| < (5.24)
Ak(t) = A(t) при t > Щ (5.25)
B(t) = Ak(t) при t £ Jk (5.26)
sup sup sup sup |;(t! -p. (5-27)
xeE(At) 1 ' х€Е(Ак) ПЛ