Операторные методы исследования систем линейных дифференциальных уравнений большой размерности

• Автор: Орешина, Мария Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Глава 1. Уравнения первого порядка

§1.1. Точные формулы для решения линейных

дифференциальных уравнений первого порядка

§1.2. Оценки приближения

§1.3. Оценки спектра матрицы А

§1.4. Способы приближения

1.4.1. Приближение многочленами

1.4.2. Приближение рациональными функциями

§1.5. Случай необратимой матрицы Л

Глава 2. Уравнения второго порядка

§2.1. Факторизация уравнения второго порядка

с помощью матричного корня его пучка
§2.2. Факторизация уравнения второго порядка
с помощью матричного корня обратного пучка
§2.3. Связь между матрицами И и V
§2.4. Сведение дифференциального уравнения
второго порядка к двум уравнениям первого порядка
Глава 3. Аналитические функции от квадратичного пучка
§3.1. Точные формулы для решения линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
§3.2. Функции от факторизованного матричного пучка

3.2.1. Представление функций от пучка
с помощью жордановой формы
3.2.2. Произведение функций от квадратичного пучка
3.2.3. Связь функций от пучка с уравнением Сильвестра
§3.3. Функции от нефакторизованного матричного пучка
Литература
Приложение
1. Применение метода главы
к расчету линейных электрических цепей
1.1. Пример расчета одной ЛС-лииии
1.2. Пример расчета двух связанных ЛС-линий
2. Применение метода главы
к расчету линейных электрических цепей
2.1. Пример расчета одной ЛЬС-линии
2.2. Пример расчета трех связанных ЛЬС-линий
3. Применение методов главы
к расчету линейных электрических цепей
3.1. Пример уравнения с коммутирующими коэффициентами
3.2. Пример расчета трех связанных ЛЬС-линий
3.3. Пример расчета одной ЛЬС-линии
Настоящая диссертация посвящена построению и анализу приближенных операторных методов решения систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка вида
Бх + Вх = /(<) (1)

.Л/а; + Их + Вх = /(£) (2)
на основе аналитических функций от матриц В, В и N. Характерная особенность рассматриваемых уравнений заключается в том, что они являются неразрешенными относительно старшей производной и все матричные коэффициенты И, В к N являются самосопряженными и неотрицательно определенными. В диссертации основное внимание уделяется случаю, когда матрицы Б, В и N имеют большой порядок.
Такие уравнения возникают, например, в теории линейных электрических цепей [2, 17, 33, 41, 42, 79]. Одним из наиболее сложных примеров таких цепей являются дискретные модели длинных связанных линий, т.е. нескольких параллельных проводов, расположенных на близком расстоянии друг от друга. Расчет больших линейных электрический цепей, в частности, связанных линий, актуален в связи с задачами проектирования микросхем, см. например, [12, 22, 79].
Современное развитие электроники движется в сторону создания все более миниатюрных и высокоскоростных микросхем. Такая схема представляет собой сложную систему, состоящую из миллионов полупроводниковых устройств и соединяющих их проводов. С целью уменьшения размера микросхемы, провода стараются располагать как можно ближе друг к другу, а с целью увеличения быстродействия — проходящие
сти £()• Положим г*(А) = р(А, А)/ф0(А), где д^ — знаменатель рациональной функции наилучшего приближения Г(0 = Рг0/<&0 заданной степени (А;, ш) или знаменатель аппроксимации Паде, а Л к> р{А, А) — многочлен степени к с коэффициентами, зависящими от Ь. Выберем А »-> р(А, А) таким образом, чтобы число

Ае(—оо,0]
Р(М) ем
Яі0{х)
было мало. В качестве р(А, /д4о(А) можно взять, например, обобщенный многочлен наилучшего приближения функции еА( на чебышевской системе А 1/<р0(А), А А/<&0(А) А Ак/^(0(А), см. предложение 16. В итоге получим приближение для матричной импульсной характеристики Н(і) = еАіО~х в виде Н(і) — гг(А)0~1 — р(Л,і)^І0(Л)^ £>-1 =
(?<0(^)) р(А*)п-1.
Пример 6. Приведем результаты еще одного численного эксперимента. Возьмем к = 10, т — 15, іо = 1 и будем строить рациональное приближение гг(А) = р{А,1)/д(о(А) для А і—> еА< указанным выше способом. Будем искать такие точки 1* и С, чтобы для функции є(<) = тахд€(_00іо] |гфА) — еА*| (см. (1.15)) выполнялась оценка є(£) < 10~3 для всех А Є [і*, А*]. В результате получим следующие значения: 1, = .084, 1* = 2.876. Теперь можно с помощью теоремы 8 оценить приближение для импульсной характеристики на всем отрезке [і*, і*]. Если необходимо повысить точность є, можно уменьшить отрезок [і*, і*] или увеличить степень рациональной функции (к,т).
Следующее предложение показывает, что в случае, когда нас интересует приближение импульсной характеристики, достаточно выписать числители р(А, А) ТОЛЬКО для А ИЗ окрестности лишь ОДНОЙ ТОЧКИ А().
Предложение 21. Пусть многочлен р(А, А) удовлетворяет оценке
вир Ае(—оо,0]
е < є при всех А Є [і*, і*]
Я±(х)
для некоторых А* и А*. И пусть Ао > 0 произвольная точка. Тогда для