Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения

• Автор: Сергеев, Игорь Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 252 с.

Оглавление
Введение
1. Формулировки основных результатов
2. Список обозначений
I. Оценка миноранты старшего показателя снизу
3. Допустимые перестановки
4. Подпространства решений
5. Допустимые функции
6. Оценки роста решений
II. Оценка миноранты старшего показателя сверху
7. Повороты и базисы
8. Реализация перестановок
9. Закрепление конечных подпространств
10. Переключения
11. Возможные функции
12. Реализация возможных функций
III. Доказательство совпадения полученных оценок
13. Мажоранта возможных функций
14. Формулы для миноранты старшего показателя
IV. Миноранта среднего показателя
15. Оценка миноранты снизу
16. Оценка миноранты сверху
17. Совпадение оценок миноранты
18. Достижимость миноранты в классе бесконечно малых возмущений

V. Примеры вычисления минорант
19. Диагональные неравномерные функции
20. Примеры
VI. О классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант
21. Класс Бэра минорант
22. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова
Литература

Введение
Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А. М. Ляпуновым [24] в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Бурное развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, так или иначе связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость. Библиография в обзорах Н. А. Изобова [16, 21] по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований.
Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правых частей системы. О. Перроном впервые был приведен пример [64], показывающий, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, имеет точки разрыва. Таким образом, была открыта содержательная ветвь этой теории, состоящая в изучении устойчивости самих показателей Ляпунова относительно малых возмущений системы.
Напомним [5, 14], что каждая система, состоящая из п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая ниже п-мерным уравнением, характеризуется набором из п показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания. Отрицательность старшего из них означает экспоненциальную устойчивость нулевого решения, а положительность — соответственно, неустойчивость. Аналогично, к-й показатель отвечает за условную устойчивость относительно /-мерного подпространства.
Для исследования непрерывности какого-либо показателя как функционала на пространстве линейных уравнений с равномерной топологией

Итак, условия (22) вытекают из (26), (27) и А2(£&) 1Л)2(/:), А; £ N5
а условия (21) — из (29), (30) и
ЬгеУк), кеК.
(31)
II. Пусть р] > газ, тогда г2(пг3) = 3 и обозначим через до наименьшее значение к < рх, для которого г2(&) = 3. Тогда до < ро и, коль скоро гг(р0) = 2, возможны два варианта: (2(ро) = 3 или г2(ро) — Т которые мы рассмотрим отдельно.
А. Пусть г2(ро) = 3, тогда г3(р0) = г3(рх) = 1 (ибо н(р0) = г2(рх) = 2 и г3(рх) = 3). Поэтому можно ввести недостающие параметры дь д2, дз так же, как и в п. I настоящего доказательства, а затем буквально повторить те же рассуждения с оговоркой: Ро = Яг < Рх, следовательно, из условия (26) вытекает условие (30) также и при ро < /г < р.
Б. Пусть г2(р0) = 1, тогда г3(ро) = 3 (так как г’х(р0) = 2). Обозначив через ер наименьшее значение к > га3, для которого г3 (/.:) = 3, а, также д2 = Р1 - 1, дз = Р2, получим
а при до < к < дх — 1 будет иметь место старшая отделенность. Выбрав одномерное подпространство М- из условия (24), мы по лемме 4. а) получим (25). Выбрав двумерное подпространство М2 так, что
Следовательно, для некоторого одномерного подпространства Ах С М2 будет выполнено условие (28), из которого, как и в п. I доказательства, выводятся условия (29) и (30), причем последнее, в силу (33), справедливо и при ро < к < р1. Теперь определим двумерное подпространство А2 как удовлетворяющее включениям А2 А М и А2 3 Ах, а в силу (25), (29), и условиям (27).
3, дх < к < д2, к < д0, А: > д3,
2, д0 < к < д1? д 2<к< д3,
М2ро) Е Т2,2(р0)
(32)
мы по лемме 4. б) получим
М2(Ьк) € У2<3(к), /г — ро
(33)